Введение
Математическая теорема, связанная с реальным и функциональным анализом
In mathematics, specifically real analysis and functional analysis, the Kirszbraun theorem states that if U is a subset of some Hilbert space , and is another Hilbert space, and
is a Lipschitz continuous map, then there is a Lipschitz continuous map
that extends f and has the same Lipschitz constant as f.
Note that this result in particular applies to Euclidean spaces and , and it was in this form that Kirszbraun originally formulated and proved the theorem. The version for Hilbert spaces can for example be found in (Schwartz 1969, p. 21). If is a separable space (in particular, if it is a Euclidean space) the result is true in Zermelo–Fraenkel set theory; for the fully general case, it appears to need some form of the axiom of choice; the Boolean prime ideal theorem is known to be sufficient. The proof of the theorem uses geometric features of Hilbert spaces; the corresponding statement for Banach spaces is not true in general, not even for finite dimensional Banach spaces. It is for instance possible to construct counterexamples where the domain is a subset of with the maximum norm and carries the Euclidean norm. More generally, the theorem fails for equipped with any norm (Schwartz 1969, p. 20). In general, an extension can also be written for valued functions as where and conv(g) is the lower convex envelope of g.
В математике, в частности в реальном и функциональном анализе, теорема Киршбрауна утверждает, что если U является подмножеством некоторого гильбертова пространства, а V – другим гильбертовым пространством, и f – липшицево непрерывное отображение, то существует липшицево непрерывное отображение g: V → W, такое что g расширяет f и имеет ту же константу Липшица, что и f.
In mathematics, specifically real analysis and functional analysis, the Kirszbraun theorem states that if U is a subset of some Hilbert space , and is another Hilbert space, and
is a Lipschitz continuous map, then there is a Lipschitz continuous map
that extends f and has the same Lipschitz constant as f.
Note that this result in particular applies to Euclidean spaces and , and it was in this form that Kirszbraun originally formulated and proved the theorem. The version for Hilbert spaces can for example be found in (Schwartz 1969, p. 21). If is a separable space (in particular, if it is a Euclidean space) the result is true in Zermelo–Fraenkel set theory; for the fully general case, it appears to need some form of the axiom of choice; the Boolean prime ideal theorem is known to be sufficient. The proof of the theorem uses geometric features of Hilbert spaces; the corresponding statement for Banach spaces is not true in general, not even for finite dimensional Banach spaces. It is for instance possible to construct counterexamples where the domain is a subset of with the maximum norm and carries the Euclidean norm. More generally, the theorem fails for equipped with any norm (Schwartz 1969, p. 20). In general, an extension can also be written for valued functions as where and conv(g) is the lower convex envelope of g.
Следует отметить, что этот результат в частности применим к евклидовым пространствам и , и именно в этой форме Киршбраун первоначально сформулировал и доказал теорему. Версия для гильбертовых пространств, например, может быть найдена в (Schwartz 1969, с. 21). Если V – сепарабельное пространство (в частности, если это евклидово пространство), результат верен в теории множеств Цермело — Френкеля; для полностью общего случая, по-видимому, требуется некоторая форма аксиомы выбора; теорема о булевых простых идеалах, как известно, достаточна. В доказательстве теоремы используются геометрические свойства гильбертовых пространств; соответствующее утверждение для пространств Банаха неверно в общем случае, даже для конечномерных пространств Банаха. Например, можно построить контрпримеры, где область определения является подмножеством с максимальной нормой, а область значений несет евклидову норму. В более общем смысле, теорема не выполняется для пространств, снабженных произвольной нормой (Schwartz 1969, с. 20). В общем случае, расширение также может быть записано для функций со значениями в V как g(x) = f(x) + h(x), где h(x) и conv(g) – нижняя выпуклая оболочка g.
In mathematics, specifically real analysis and functional analysis, the Kirszbraun theorem states that if U is a subset of some Hilbert space , and is another Hilbert space, and
is a Lipschitz continuous map, then there is a Lipschitz continuous map
that extends f and has the same Lipschitz constant as f.
Note that this result in particular applies to Euclidean spaces and , and it was in this form that Kirszbraun originally formulated and proved the theorem. The version for Hilbert spaces can for example be found in (Schwartz 1969, p. 21). If is a separable space (in particular, if it is a Euclidean space) the result is true in Zermelo–Fraenkel set theory; for the fully general case, it appears to need some form of the axiom of choice; the Boolean prime ideal theorem is known to be sufficient. The proof of the theorem uses geometric features of Hilbert spaces; the corresponding statement for Banach spaces is not true in general, not even for finite dimensional Banach spaces. It is for instance possible to construct counterexamples where the domain is a subset of with the maximum norm and carries the Euclidean norm. More generally, the theorem fails for equipped with any norm (Schwartz 1969, p. 20). In general, an extension can also be written for valued functions as where and conv(g) is the lower convex envelope of g.
История
Теорема была доказана Можезом Давидом Киршбрауном, а позже повторно доказана Фредериком Валентином, который впервые доказал её для евклидовой плоскости. Иногда эту теорему также называют теоремой Киршбрауна — Валентина.