Введение

Границы последовательности

В математике нижний и верхний пределы последовательности можно рассматривать как предельные (то есть, конечные и экстремальные) границы последовательности. Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. Предел функции). Для множества они являются инфимумом и супремумом предельных точек множества соответственно. В общем случае, когда существует несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или множество, нижний и верхний пределы выделяют наименьший и наибольший из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие экстремальных пределов инвариантно. Нижний предел также называют пределом инфимума, инфимум-пределом, liminf, нижним пределом, нижней границей или внутренним пределом; верхний предел также известен как предел супремума, супремум-пределом, limsup, верхним пределом, верхней границей или внешним пределом. Нижний предел последовательности обозначается как

а верхний предел последовательности обозначается как

Случай последовательностей действительных чисел

В математическом анализе предел сверху и предел снизу являются важными инструментами для изучения последовательностей вещественных чисел. Поскольку супремум и инфимум неограниченного множества вещественных чисел могут не существовать (вещественные числа не образуют полную решетку), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной системе вещественных чисел: мы добавляем положительную и отрицательную бесконечности к числовой прямой, чтобы получить полное и вполне упорядоченное множество [−∞,∞], которое является полной решеткой.

Интерпретация

Рассмотрим последовательность, состоящую из действительных чисел. Предположим, что предел сверху и предел снизу являются действительными числами (то есть, не бесконечными). Предел сверху последовательности – это наименьшее действительное число, такое, что для любого положительного действительного числа ε существует натуральное число N, такое, что для всех n > N. Иными словами, любое число, большее предела сверху, является в конечном итоге верхней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше предела сверху. Предел снизу последовательности – это наибольшее действительное число, такое, что для любого положительного действительного числа ε существует натуральное число N, такое, что для всех n > N. Иными словами, любое число, меньшее предела снизу, является в конечном итоге нижней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше предела снизу.

Примеры

В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную функцией синуса: используя тот факт, что π иррационально, следует, что и (это происходит потому, что последовательность равнораспределена по модулю 2π, что является следствием теоремы о равнораспределении). Пример из теории чисел — где — n-ое простое число. Предполагается, что значение этой нижней границы равно 2 — это гипотеза о простых числах-близнецах — но по состоянию на 2014 год было доказано лишь, что оно меньше или равно 246. Соответствующая верхняя граница равна , поскольку между последовательными простыми числами существуют сколь угодно большие промежутки.

Функции с реальными значениями

Предположим, что функция определена из подмножества действительных чисел в множество действительных чисел. Как и в случае последовательностей, нижний и верхний пределы всегда хорошо определены, если мы допускаем значения +∞ и −∞; фактически, если они совпадают, то предел существует и равен их общему значению (вновь, возможно, включая бесконечности). Например, для функции , мы имеем и . Разница между ними является грубой мерой того, насколько сильно функция колеблется, и в связи с этим фактом она называется колебанием функции f в точке 0. Эта идея колебания достаточна, например, для характеризации функций, интегрируемых по Риману, как непрерывных почти всюду (за исключением множества меры нуль). Обратите внимание, что точки ненулевого колебания (то есть точки, в которых функция ведет себя "неустойчиво") являются точками разрыва, которые, если они не образуют множество меры нуль, заключены в пренебрежимо малом множестве.

Функции из топологических пространств

Это, наконец, мотивирует определения для общих топологических пространств. Возьмем X, E и a, как и раньше, но теперь пусть X будет топологическим пространством. В этом случае мы заменяем метрические шары на окрестности:

(существует способ записать формулу, используя "предел" с помощью сетей и фильтра окрестностей). Эта версия часто полезна при обсуждении полунепрерывности, которые довольно часто встречаются в анализе. Интересно отметить, что эта версия охватывает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции из натуральных чисел, рассматриваемых как топологическое подпространство расширенной вещественной прямой, в пространство (замыкание N в [−∞,∞], расширенной вещественной прямой, равно N ∪ {∞}).

Последовательность множеств

Множество степеней ℘(X) множества X представляет собой полную решетку, упорядоченную включением множеств, и поэтому супремум и инфимум любого множества подмножеств (в терминах включения множеств) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y множества X ограничено сверху множеством X и снизу пустым множеством ∅, поскольку ∅ ⊆ Y ⊆ X. Следовательно, возможно (и иногда полезно) рассматривать верхние и нижние пределы последовательностей в ℘(X) (то есть, последовательностей подмножеств X). Существует два распространенных способа определения предела последовательности множеств. В обоих случаях:

Последовательность стремится к множествам точек, а не к отдельным точкам. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является множеством, существуют множества накопления, которые в некотором смысле близки к бесконечному числу элементов последовательности. Супремум/верхний/внешний предел – это множество, объединяющее эти множества накопления. То есть, это объединение всех множеств накопления. При упорядочении по включению множеств, супремум является наименьшей верхней гранью множества точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это супремум предельных точек. Инфимум/нижний/внутренний предел – это множество, в котором пересекаются все эти множества накопления. То есть, это пересечение всех множеств накопления. При упорядочении по включению множеств, инфимум является наибольшей нижней гранью множества точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это инфимум предельных точек. Поскольку упорядочение происходит по включению множеств, внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (то есть, lim inf Xn ⊆ lim sup Xn). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств, обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности. Разница между двумя определениями заключается в том, как определяется топология (то есть, как количественно оценивается разделение). Фактически, второе определение идентично первому, когда дискретная метрика используется для индуцирования топологии на X.

Обобщенные определения

Вышеприведенные определения недостаточны для многих технических приложений. На самом деле, эти определения являются частными случаями следующих определений.

Определение множества

Нижний предел множества X ⊆ Y является инфимумом всех предельных точек множества. То есть,

Аналогично, верхний предел X является супремумом всех предельных точек множества. То есть,

Следует отметить, что множество X должно быть определено как подмножество частично упорядоченного множества Y, которое также является топологическим пространством, чтобы эти определения имели смысл. Более того, Y должно быть полной решеткой, чтобы супремумы и инфимумы всегда существовали. В этом случае каждое множество имеет верхний предел и нижний предел. Также следует отметить, что нижний предел и верхний предел множества не обязательно должны быть элементами этого множества.

Специализация для последовательностей и сетей

Обратите внимание, что основания фильтров являются обобщениями сетей, которые, в свою очередь, являются обобщениями последовательностей. Следовательно, эти определения дают предел снизу и предел сверху для любой сети (и, таким образом, для любой последовательности). Например, рассмотрим топологическое пространство и сеть , где является направленным множеством и для всех . Основание фильтра ("хвостов"), порожденное этой сетью, определяется как

Следовательно, предел снизу и предел сверху этой сети равны пределу сверху и пределу снизу соответственно. Аналогично, для топологического пространства , рассмотрим последовательность , где для любого . Основание фильтра ("хвостов"), порожденное этой последовательностью, определяется как

Следовательно, предел снизу и предел сверху этой последовательности равны пределу сверху и пределу снизу соответственно.