Кіріспе

Тізбектің шектері

Математикада, тізбектің төменгі және жоғарғы лимиті тізбектің шектейтін (яғни, аяқталу және ең шекті) шектері ретінде қарастырылуы мүмкін. Оларды функция үшін де ұқсас тұрғыдан қарастыруға болады (функцияның лимитін қараңыз). Жинақ үшін олар жинақтың лимиттік нүктелерінің инфимумы және супремумы болып табылады. Жалпы алғанда, тізбек, функция немесе жиынтық бірнеше нысандарға жинақталған кезде, төменгі және жоғарғы лимиттер олардың ең кішісі мен ең үлкенін бөліп шығарады; нысанның түрі және өлшемнің бірлігі контекстке байланысты, бірақ ең шекті лимиттердің ұғымы өзгермейді. Төменгі лимит сондай-ақ инфимум лимиті, төменгі инфимум, liminf, төменгі лимит, кіші лимит немесе ішкі лимит деп те аталады; жоғарғы лимит сондай-ақ супремум лимиті, жоғарғы супремум, limsup, жоғарғы лимит, үлкен лимит немесе сыртқы лимит деп те аталады. Тізбектің төменгі лимиті мына символда белгіленеді:

және тізбектің жоғарғы лимиті мына символда белгіленеді:

Нақты сандар тізбектерінің жағдайы

Математикалық талдауда жоғарғы лимит және төменгі лимит – нақты сандар тізбектерін зерттеу үшін маңызды құралдар. Нақты сандардың шексіз жиынының супремумы мен инфимумы болмауы мүмкін (нақты сандар толық тор емес), сондықтан аффиналды кеңейтілген нақты сандар жүйесіндегі тізбектерді қарастыру ыңғайлы: біз оң және теріс шексіздікті нақты түзуге қосып, толық реттелген [−∞,∞] жиынын аламыз, ол толық тор болып табылады.

Интерпретация

Нақты сандардан тұратын тізбекті қарастырайық. Жоғарғы шекті және төменгі шекті нақты сандар деп есептейік (яғни, шексіз емес). Тізбектің жоғарғы шектілігі – кез келген оң нақты сан ε үшін, барлық n-нен үлкен n-ге тең табиғи сан бар болатын ең кіші нақты сан. Басқаша айтқанда, жоғарғы шектіліктен үлкен кез келген сан – тізбектің соңындағы жоғарғы шегі болады. Тізбектің тек шекті саны ғана осы саннан үлкен. Тізбектің төменгі шектілігі – кез келген оң нақты сан ε үшін, барлық n-нен үлкен n-ге тең табиғи сан бар болатын ең үлкен нақты сан. Басқаша айтқанда, төменгі шектіліктен кіші кез келген сан – тізбектің соңындағы төменгі шегі болады. Тізбектің тек шекті саны ғана осы саннан кіші.

Мысалдар

Мысалы, синус функциясымен берілген тізбекті қарастырайық: π иррационал екендігін пайдаланып, келесідей шығады және (Бұл тізбек 2π-қа қатысты тең таратылған, бұл тең таралу теоремасының салдары). Сандар теориясынан мысал: , мұнда - -шы жай сан. Бұл төменгі шектің мәні 2-ге тең деп болжанады – бұл егіз жай сандар туралы болжам, бірақ 2014 жылға дейін ол тек 246-дан кем немесе оған тең екені ғана дәлелденді. Сәйкес жоғары шек , себебі тікелей жай сандар арасында кез келген үлкен аралықтар кездеседі.

Нақты мәнді функциялар

Функция нақты сандардың ішкі жиынынан нақты сандарға дейін анықталған деп есептейік. Тізбектердегідей, ең төменгі және ең жоғары шектер +∞ және −∞ мәндерін қабылдауға рұқсат етілсе, әрқашан дұрыс анықталады; шындығында, егер олардың екеуі де сәйкес келсе, онда шек бар және ол олардың ортақ мәніне тең болады (мүмкін шексіздіктерді де қамтиды). Мысалы, берілген , онда және осы екеуінің арасындағы айырмашылық функцияның қаншалықты "күшті" тербеліп жатқанының жуық шамасы болып табылады, сондықтан осы фактіні ескере отырып, бұл 0-дегі f тербелісі деп аталады. Бұл тербеліс тұжырымы, мысалы, Риман интегралданатын функцияларды нөлдік өлшемді жиынтықтан басқа барлық жерде үздіксіз деп сипаттауға жеткілікті. Нөлдік емес тербеліске ие нүктелер (яғни f "дұрыс емес" мінез-құлық танытатын нүктелер) нөлдік жиынтықты құрамайынша, елеусіз жиынтықпен шектелген үзілістер екенін ескеріңіз.

Топологиялық кеңістік функциялары

Бұл, ақыры, жалпы топологиялық кеңістіктердің анықтамаларын қалыптастыруға себеп болады. X, E және a-ны бұрынғыдай қабылдайық, бірақ енді X-ті топологиялық кеңістік деп қарастырайық. Бұл жағдайда метрикалық шарларды маңдарлармен алмастырамыз:

(торлар мен маңдар сүзгісін қолданып, "lim" белгісін пайдалана отырып формуланы жазуға болады). Бұл нұсқа, әсіресе талдауда жиі кездесетін жартылай үздіксіздік туралы пікірталас кезінде жиі қолданылады. Қызықтысы, бұл нұсқа тізбектік нұсқаны, тізбектерді табиғи сандардан кеңейтілген нақты сызықтың ([-∞,∞] кеңейтілген нақты сандар сызығындағы N-нің жабылуы N ∪ {∞} болады) топологиялық ішкі кеңістігі ретінде қарастыру арқылы қамтиды.

Жинақтардың реттілігі

X жиынының (X) қуат жиыны жиынтық қосу арқылы реттелген толық тор болып табылады, сондықтан кез келген кіші жиынтықтар жинағының (жиынтық қосу тұрғысынан) жоғарғы және төменгі шектері әрқашан болады. Атап айтқанда, X жиынының кез келген Y кіші жиыны X жиынымен жоғарыдан шектелген, ал бос жиынмен ∅ төменнен шектелген, себебі ∅ ⊆ Y ⊆ X. Осыдан X жиынының (яғни, X жиынының кіші жиынтықтарының тізбектерінің) жоғарғы және төменгі шектерін қарастыру мүмкін (және кейде пайдалы). Жинақтар тізбегінің шегін анықтаудың екі кең таралған тәсілі бар. Екі жағдайда да: тізбек жеке нүктелердің орнына нүктелер жиынының айналасында жиналады. Яғни, тізбектің әрбір мүшесі өзі жиын болғандықтан, тізбектің шексіз көп мүшелеріне жақын жинақталған жиындар бар. Жоғарғы/сыртқы шек – бұл жинақтау жиындарын біріктіретін жиын. Яғни, ол барлық жинақтау жиындарының біріндісі. Жиынтық қосу арқылы реттегенде, жоғарғы шек жинақтау нүктелері жинағының ең кіші жоғарғы шегі болып табылады, себебі ол олардың әрқайсысын қамтиды. Сондықтан, бұл шекті нүктелердің жоғарғы шегі. Төменгі/ішкі шек – бұл жинақтау жиындарының барлығы қиылысатын жиын. Яғни, ол барлық жинақтау жиындарының қиылысы. Жиынтық қосу арқылы реттегенде, төменгі шек жинақтау нүктелері жинағындағы ең үлкен төменгі шек болып табылады, себебі ол олардың әрқайсысына кіреді. Сондықтан, бұл шекті нүктелердің төменгі шегі. Реттеу жиынтық қосу арқылы жүргізілетіндіктен, сыртқы шек әрқашан ішкі шекті қамтиды (яғни, lim inf Xn ⊆ lim sup Xn). Сондықтан, жиынтар тізбегінің жуысуын қарастырғанда, әдетте осы тізбектің сыртқы шегінің жуысуын қарастыру жеткілікті. Екі анықтама арасындағы айырмашылық топологияның (яғни, қашықтықты қалай өлшеу) қалай анықталғанында. Шындығында, екінші анықтама дискреттік метрика X жиынындағы топологияны тудыру үшін қолданылса, бірінші анықтамамен бірдей болады.

Жалпыланған анықтамалар

Жоғарыдағы анықтамалар көптеген техникалық қолданыстар үшін жеткіліксіз. Шындығында, жоғарыдағы анықтамалар төмендегі анықтамалардың тар саласы болып табылады.

Жинақтың анықтамасы

Жиын X-тің төменгі лимиті – жиынның барлық шекті нүктелерінің инфимумы. Яғни,

Сонымен қатар, X-тің жоғарғы лимиті – жиынның барлық шекті нүктелерінің супремумы. Яғни,

Бұл анықтамалардың мағынасы болуы үшін жиын X, Y жартылай реттелген жиынының ішкі жиыны ретінде анықталған болуы керек, ал Y – топологиялық кеңістік болуы тиіс. Бұған қоса, ол толық решетка болуы керек, сонда ғана супремум мен инфимум әрқашан болады. Осы жағдайда, әрбір жиынның жоғарғы және төменгі лимиті болады. Сондай-ақ, жиынның төменгі және жоғарғы лимиттері жиынның элементтері болуы міндетті емес.

Сызықтар мен торлар үшін мамандандыру

Фильтр негіздері желілердің жалпылама түрі екенін ескеріңіз, ал желілер тізбектердің жалпылама түрі болып табылады. Сондықтан, бұл анықтамалар кез келген желінің (демек, кез келген тізбектің) төменгі және жоғарғы лимитін де анықтайды. Мысалы, топологиялық кеңістік және желіні қарастырайық, мұндағы бағытталған жиын және барлық үшін. Осы желі тудырған сүзгі негізі ("құйрықтары") былай анықталады:

Осылайша, желінің төменгі және жоғарғы лимиті сәйкесінше жоғарғы және төменгі лимиттерімен тең болады. Сол сияқты, топологиялық кеңістік үшін, кез келген үшін тізбекті қарастырайық. Осы тізбек тудырған сүзгі негізі ("құйрықтары") былай анықталады:

Осылайша, тізбектің төменгі және жоғарғы лимиті сәйкесінше жоғарғы және төменгі лимиттерімен тең болады.