Введение

В алгебре полупримитивное кольцо, или кольцо Якобсона, или J-полупростое кольцо — это кольцо, чей корень Якобсона равен нулю. Это тип кольца, более общий, чем полупростое кольцо, но в котором простые модули по-прежнему дают достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, являются полупримитивными, а артиново полупримитивное кольцо является просто полупростым кольцом. Полупримитивные кольца можно рассматривать как подпрямые произведения примитивных колец, которые описываются теоремой о плотности Якобсона.

Определение

Кольцо называется полупримитивным или полупростым по Якобсону, если его радикалом Якобсона является нулевой идеал. Кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно имеет верный полупростой левый модуль. Полупримитивность симметрична относительно левых и правых модулей, поэтому кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно имеет верный полупростой правый модуль. Кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно является субпрямым произведением левых примитивных колец. Коммутативное кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно является субпрямым произведением полей. Левое артинианское кольцо является полупримитивным тогда и только тогда, когда оно полупростое. Такие кольца иногда называют полупростыми артинианскими.

Примеры

Кольцо целых чисел полупримитивно, но не полупросто. Каждое примитивное кольцо полупримитивно. Произведение двух полей полупримитивно, но не примитивно. Каждое регулярное кольцо фон Неймана полупримитивно. Сам Якобсон определил кольцо как "полупростое" тогда и только тогда, когда оно является субдиректным произведением простых колец. Однако это более сильное понятие, поскольку кольцо эндоморфизмов бесконечномерного векторного пространства является полупримитивным, но не субдиректным произведением простых колец.