Введение
Единичный кольцо без делителей нуля, кроме 0, некоммутативное обобщение целостных областей. В алгебре, область (домен) — это ненулевое кольцо, в котором равенство ab = 0 влечет за собой a = 0 или b = 0. (Иногда такое кольцо называют кольцом, обладающим свойством нулевого произведения.) Эквивалентно, область (домен) — это кольцо, в котором 0 является единственным левым делителем нуля (и, эквивалентно, единственным правым делителем нуля). Коммутативная область называется целостной областью. В математической литературе встречаются различные варианты определения понятия "область (домен)".
In algebra, a domain is a nonzero ring in which 1=ab = 0 implies 1=a = 0 or 1=b = 0. (Sometimes such a ring is said to "have the zero product property".) Equivalently, a domain is a ring in which 0 is the only left zero divisor (or equivalently, the only right zero divisor). A commutative domain is called an integral domain. Mathematical literature contains multiple variants of the definition of "domain".
Примеры и не-примеры
Кольцо не является областью целостности, потому что образы 2 и 3 в этом кольце — ненулевые элементы с произведением 0. В более общем случае, для положительного целого числа *n* кольцо ℤ/ *n*ℤ является областью целостности тогда и только тогда, когда *n* — простое число. Конечная область целостности автоматически является конечным полем, согласно малой теореме Уэддерберна. Кватернионы образуют некоммутативную область целостности. В более общем случае, любая алгебра с делением является областью целостности, поскольку каждый ненулевой элемент обратим. Множество всех кватернионов Липшица, то есть кватернионов вида *a* + *bi* + *cj* + *dk*, где *a*, *b*, *c*, *d* — целые числа, является некоммутативным подкольцом кватернионов, а следовательно, некоммутативной областью целостности. Аналогично, множество всех кватернионов Гурвица, то есть кватернионов вида *a* + *bi* + *cj* + *dk*, где *a*, *b*, *c*, *d* — либо все целые числа, либо все полуцелые числа, является некоммутативной областью целостности. Матричное кольцо Mn(R) при n ≥ 2 никогда не является областью целостности: если R не равно нулю, то такое матричное кольцо содержит ненулевые делители нуля и даже нильпотентные элементы, отличные от 0. Например, квадрат матричного элемента E12 равен 0. Тензорная алгебра векторного пространства, или, эквивалентно, алгебра многочленов от некоммутирующих переменных над полем, является областью целостности. Это можно доказать, используя упорядочение на некоммутативных мономах. Если R — область целостности, а S — расширение Оре кольца R, то S — область целостности. Алгебра Вейля является некоммутативной областью целостности. Универсальная обволакивающая алгебра любой алгебры Ли над полем является областью целостности. Доказательство использует стандартную фильтрацию на универсальной обволакивающей алгебре и теорему Пуанкаре — Биркгоффа — Витта.
Спектр интегральной области
Нулевые делители имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере, в случае коммутативных колец: кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда оно редуцировано и его спектр Spec R является неразложимым топологическим пространством. Первое свойство часто рассматривается как кодирующее некоторую инфинитезимальную информацию, в то время как второе имеет более геометрический характер. Пример: кольцо k[x, y]/(xy), где k – поле, не является областью целостности, поскольку образы x и y в этом кольце являются нулевыми делителями. Геометрически это соответствует тому факту, что спектр этого кольца, который представляет собой объединение прямых x=0 и y=0, не является неразложимым. Действительно, эти две прямые являются его неразложимыми компонентами.