Введение
Мера общего значения, обобщающая распределения вероятностей. В математике, мера вероятности – это функция, принимающая вещественные значения и определенная на множестве событий в σ-алгебре, удовлетворяющая свойствам меры, таким как счетная аддитивность. Отличие между мерой вероятности и более общим понятием меры (которое включает в себя такие понятия, как площадь или объем) заключается в том, что мера вероятности должна присваивать значение 1 всему пространству. Интуитивно, свойство аддитивности означает, что вероятность, присвоенная объединению двух непересекающихся (взаимоисключающих) событий мерой, должна быть равна сумме вероятностей этих событий; например, значение, присвоенное исходу "1 или 2" при броске кубика, должно быть равно сумме значений, присвоенных исходам "1" и "2". Меры вероятности находят применение в различных областях, от физики до финансов и биологии.
In mathematics, a probability measure is a real valued function defined on a set of events in a σ algebra that satisfies measure properties such as countable additivity. The difference between a probability measure and the more general notion of measure (which includes concepts like area or volume) is that a probability measure must assign value 1 to the entire space. Intuitively, the additivity property says that the probability assigned to the union of two disjoint (mutually exclusive) events by the measure should be the sum of the probabilities of the events; for example, the value assigned to the outcome "1 or 2" in a throw of a dice should be the sum of the values assigned to the outcomes "1" and "2". Probability measures have applications in diverse fields, from physics to finance and biology.
Примеры применения
Рыночные меры, которые присваивают вероятности пространствам финансового рынка на основе фактических изменений рынка, являются примерами мер вероятности, представляющих интерес для математических финансов; например, при ценообразовании финансовых деривативов. В качестве примера можно привести безрисковую меру, которая представляет собой меру вероятности, предполагающую, что текущая стоимость активов равна ожидаемому значению будущей выплаты, рассчитанному относительно той же безрисковой меры (то есть с использованием соответствующей безрисковой плотности вероятности), и дисконтированному по безрисковой ставке. Если существует единственная мера вероятности, которая должна использоваться для ценообразования активов на рынке, то такой рынок называется полным. Не все меры, интуитивно представляющие случайность или вероятность, являются мерами вероятности. Например, хотя фундаментальным понятием в статистической механике является пространство мер, такие меры не всегда являются мерами вероятности. Например, при сравнительном анализе последовательностей может быть определена мера вероятности допустимости варианта для аминокислоты в последовательности. Ультрафильтры можно понимать как меры вероятности с значениями, позволяющие получать множество интуитивных доказательств, основанных на мерах. Например, теорему Хиндмана можно доказать, углубившись в изучение этих мер и, в частности, их свертки.