Введение

Алгебраическая структура в теории колец. В алгебре к плоским модулям относятся свободные модули, проективные модули и, над областью главных идеалов, модули без кручения. Формально, модуль M над кольцом R является плоским, если взятие тензорного произведения над R с M сохраняет точные последовательности. Модуль называется верно плоским, если взятие тензорного произведения с последовательностью даёт точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна. Плоскость была введена в его работе «Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique».

Отношения к другим свойствам модуля

Плоскость связана с различными другими свойствами модуля, такими как быть свободным, проективным или без кручения. В частности, любой плоский модуль без кручения, любой проективный модуль плоский, и любой свободный модуль проективен. Существуют конечно порожденные модули, которые плоские, но не проективные. Однако, конечно порожденные плоские модули являются проективными над кольцами, которые наиболее часто рассматриваются. Более того, конечно порожденный модуль плоский тогда и только тогда, когда он локально свободен, то есть все локализации в простых идеалах являются свободными модулями. Это частично суммируется на следующем графике.

Модули без торсионных колес

Каждый плоский модуль свободен от кручения. Это следует из вышеприведенной характеризации в терминах соотношений, полагая 1=m=1. Обратное верно над кольцом целых чисел, и в более общем случае – над областями главных идеалов и кольцами Дедекинда. Интегральная область, над которой каждый модуль, свободный от кручения, является плоским, называется областью Пруфера.

Свободные и проективные модули

Модуль M является проективным тогда и только тогда, когда существует свободный модуль G и два линейных отображения и такие, что . В частности, каждый свободный модуль является проективным (возьмем и ). Каждый проективный модуль плоский. Это можно доказать из вышеуказанных характеристик плоскости и проективности в терминах линейных отображений, взяв и .

Обратно, конечно порожденные плоские модули являются проективными при мягких условиях, которые обычно выполняются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. Это делает понятие плоскости полезным главным образом для модулей, которые не конечно порождены. Конечно представленный модуль (то есть фактор конечно порожденного свободного модуля по конечно порожденному подмодулю), который является плоским, всегда является проективным. Это можно доказать, взяв f сюръективным и в вышеуказанной характеристике плоскости в терминах линейных отображений. Условие влечет существование линейного отображения такого, что и, следовательно, поскольку f сюръективен, то есть , и M является проективным. Над нётеровым кольцом каждый конечно порожденный плоский модуль является проективным, поскольку каждый конечно порожденный модуль конечно представлен. Тот же результат верен для целостного домена, даже если он не нётеров. На локальном кольце каждый конечно порожденный плоский модуль свободен. Конечно порожденный плоский модуль, который не является проективным, можно построить следующим образом. Пусть – множество бесконечных последовательностей, члены которых принадлежат фиксированному полю F. Это коммутативное кольцо с покомпонентным сложением и умножением. Это кольцо абсолютно плоское (то есть каждый модуль плоский). Модуль , где I – идеал последовательностей с конечным числом ненулевых членов, таким образом, плоский и конечно порожденный (только один образующий), но он не проективный.

Непримеры

Если I — идеал в нётеровом коммутативном кольце R, то модуль R/I не является плоским, за исключением случая, когда I порожден идемпотентом (то есть элементом, равным своему квадрату). В частности, если R — область целостности, то R/I плоский только если I равен R или является нулевым идеалом. Над областью целостности плоский модуль не содержит элементов кручения. Следовательно, модуль, содержащий ненулевые элементы кручения, не является плоским. В частности, кольцо целых чисел и все поля положительной характеристики являются неплоскими модулями, где — кольцо целых чисел, а ℚ — поле рациональных чисел.

Прямые суммы, лимиты и продукты

Прямая сумма модулей плоская тогда и только тогда, когда каждый из них плоский. Прямой предел плоских модулей плоский. В частности, прямой предел свободных модулей плоский. Обратно, любой плоский модуль может быть представлен как прямой предел конечно порожденных свободных модулей. Прямые произведения плоских модулей не всегда плоские. Фактически, для кольца R, каждое прямое произведение плоских R-модулей плоско тогда и только тогда, когда R является когерентным кольцом (то есть, каждый конечно порожденный идеал конечно представлен).

Плоские кольцевые удлинители

Однокольцевой гомоморфизм называется плоским, если S является плоским R-модулем относительно структуры модуля, индуцированной этим гомоморфизмом. Например, полиномиальное кольцо R[t] является плоским над R для любого кольца R.

Для любого мультипликативного подмножества коммутативного кольца локализация является плоской R-алгеброй (она проективна лишь в исключительных случаях). Например, является плоской и не проективной над .

Если I – идеал в ноетерианском коммутативном кольце R, то завершение R относительно I является плоским. Оно является верно плоским тогда и только тогда, когда I содержится в радикале Джейкобсона R (см. также кольцо Зариски).

Верно плоские локальные гомоморфизмы

Вот одна характеристика верно плоского гомоморфизма для не обязательно плоского гомоморфизма. Пусть дан инъективный локальный гомоморфизм, при котором является первичным идеалом. Гомоморфизм является верно плоским тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема о переходе; то есть, для каждого первичного идеала из ,

Плоские крышки

Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль имеет плоское покрытие, то есть каждый модуль M является эпиморфным образом плоского модуля F, так что любое отображение из плоского модуля на M факторизуется через F, и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом. Эта гипотеза о плоском покрытии была впервые сформулирована явно в… Оказалось, что гипотеза верна, она была положительно разрешена и одновременно доказана Л. Биканом, Р. Эль-Баширом и Э. Энохом. Этому предшествовали важные работы П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй. Поскольку плоские покрытия существуют для всех модулей над всеми кольцами, минимальные плоские резолюции могут заменить минимальные проективные резолюции во многих ситуациях. Измерение отклонения плоских резолюций от проективных называется относительной гомологической алгеброй и рассматривается в классических работах, таких как… и в более поздних работах, посвященных плоским резолюциям, таких как…

В конструктивной математике

Плоские модули приобретают все большее значение в конструктивной математике, где проективные модули оказываются менее полезными. Например, утверждение о том, что все свободные модули являются проективными, эквивалентно полной аксиоме выбора, поэтому теоремы о проективных модулях, даже если они доказаны конструктивно, не обязательно применимы к свободным модулям. В отличие от этого, для доказательства того, что свободные модули плоские, выбор не требуется, поэтому теоремы о плоских модулях все еще могут быть использованы.