Введение
Топологии на множестве операторов на гильбертовом пространстве. В математической области функционального анализа существует несколько стандартных топологий, задаваемых алгебре B(X) ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве X.
In the mathematical field of functional analysis there are several standard topologies which are given to the algebra B(X) of bounded linear operators on a Banach space X.
Введение
Пусть {S_n} будет последовательностью линейных операторов на банаховом пространстве X. Рассмотрим утверждение о сходимости последовательности {S_n} к некоторому оператору T на X. Это может иметь несколько различных значений: Если ||S_n - T|| → 0, то есть, операторная норма разности (супремум {||S_n(x) - T(x)|| : x ∈ X, ||x|| ≤ 1}) стремится к 0, мы говорим, что {S_n} сходится к T в равномерной операторной топологии. Если S_n(x) → T(x) для всех x ∈ X, то мы говорим, что {S_n} сходится к T в сильной операторной топологии. Наконец, предположим, что для всех x ∈ X, <S_n(x), F> → <T(x), F> в слабой топологии X для всех непрерывных линейных функционалов F на X. В этом случае мы говорим, что {S_n} сходится к T в слабой операторной топологии.
If , that is, the operator norm of (the supremum of , where x ranges over the unit ball in X ) converges to 0, we say that in the uniform operator topology. If for all , then we say in the strong operator topology. Finally, suppose that for all x ∈ X we have in the weak topology of X. This means that for all continuous linear functionals F on X. In this case we say that in the weak operator topology.
Топология, которую следует использовать
Наиболее часто используемыми топологиями являются нормы, сильные и слабые операторные топологии. Слабая операторная топология полезна для аргументов о компактности, поскольку единичный шар компактен согласно теореме Банаха — Алоглу. Топология нормы является фундаментальной, поскольку она делает B(H) пространством Банаха, но она слишком сильна для многих целей; например, B(H) не является сепарабельным в этой топологии. Топология сильного оператора может быть наиболее часто используемой. Ультраслабые и ультрасильные топологии ведут себя лучше, чем слабые и сильные операторные топологии, но их определения более сложны, поэтому они обычно не используются, если их лучшие свойства действительно не требуются. Например, двойственное пространство B(H) в слабой или сильной операторной топологии слишком мало, чтобы иметь значимое аналитическое содержание. Сопряжённое отображение не является непрерывным в сильной операторной и ультрасильной топологиях, в то время как сильные* и ультрасильные* топологии являются модификациями, обеспечивающими непрерывность сопряжённого отображения. Они используются не очень часто. Топология Аренса — Маккея и слабая топология пространства Банаха используются относительно редко. Подводя итог, три основные топологии на B(H) — это топологии нормы, ультрасильная и ультраслабая. Слабые и сильные операторные топологии широко используются как удобные приближения к ультраслабой и ультрасильной топологиям. Остальные топологии относительно малоизвестны.