Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теория вероятностей и статистика. Концепция условного распределения вероятностей
Probability theory and statistics concept
В теории вероятностей и статистике условное распределение вероятностей – это распределение вероятностей, описывающее вероятность исхода при условии наступления определенного события. Для двух совместно распределенных случайных величин X и Y, условное распределение вероятностей величины X при условии Y – это распределение вероятностей величины X, когда известно, что Y принимает определенное значение; в некоторых случаях условные вероятности могут быть выражены в виде функций, содержащих не указанное значение Y в качестве параметра. Если обе величины X и Y – категориальные переменные, то для представления условных вероятностей обычно используется таблица условных вероятностей. Условное распределение противопоставляется предельному распределению случайной величины, которое является ее распределением без учета значения другой переменной. Если условное распределение X при условии Y является непрерывным распределением, то его функция плотности вероятности называется функцией условной плотности. Свойства условного распределения, такие как моменты, часто называют соответствующими терминами, например, условное математическое ожидание и условная дисперсия. В более общем случае можно говорить об условном распределении подмножества множества, состоящего более чем из двух переменных; это условное распределение зависит от значений всех остальных переменных, и если в подмножество включено более одной переменной, то это условное распределение является совместным условным распределением включенных переменных.
In probability theory and statistics, the conditional probability distribution is a probability distribution that describes the probability of an outcome given the occurrence of a particular event. Given two jointly distributed random variables and , the conditional probability distribution of given is the probability distribution of when is known to be a particular value; in some cases the conditional probabilities may be expressed as functions containing the unspecified value of as a parameter. When both and are categorical variables, a conditional probability table is typically used to represent the conditional probability. The conditional distribution contrasts with the marginal distribution of a random variable, which is its distribution without reference to the value of the other variable. If the conditional distribution of given is a continuous distribution, then its probability density function is known as the conditional density function. The properties of a conditional distribution, such as the moments, are often referred to by corresponding names such as the conditional mean and conditional variance. More generally, one can refer to the conditional distribution of a subset of a set of more than two variables; this conditional distribution is contingent on the values of all the remaining variables, and if more than one variable is included in the subset then this conditional distribution is the conditional joint distribution of the included variables.
Пример
График показывает двумерную нормальную совместную плотность для случайных величин ξ и η. Чтобы увидеть распределение ξ при условии η, можно сначала визуализировать линию η = const в плоскости (ξ, η), а затем визуализировать плоскость, содержащую эту линию и перпендикулярную плоскости (ξ, η). Пересечение этой плоскости с совместной нормальной плотностью, после нормировки для получения единичной площади под пересечением, является соответствующей условной плотностью ξ.
The graph shows a bivariate normal joint density for random variables and To see the distribution of conditional on , one can first visualize the line in the plane, and then visualize the plane containing that line and perpendicular to the plane. The intersection of that plane with the joint normal density, once rescaled to give unit area under the intersection, is the relevant conditional density of .
Отношение к независимости
Случайные величины , независимы тогда и только тогда, когда условное распределение величины при заданном значении величины , для всех возможных реализаций , равно безусловному распределению величины . Для дискретных случайных величин это означает , для всех возможных и с . Для непрерывных случайных величин и , имеющих совместную плотность вероятности, это означает , для всех возможных и с .
Random variables , are independent if and only if the conditional distribution of given is, for all possible realizations of , equal to the unconditional distribution of For discrete random variables this means for all possible and with For continuous random variables and , having a joint density function, it means for all possible and with .
Свойства
Рассматриваемая как функция от для заданного , является функцией массы вероятности, и, следовательно, сумма всех (или интеграл, если это условная плотность вероятности) равна 1. Рассматриваемая как функция от заданного , это функция правдоподобия, поэтому сумма (или интеграл) по всем не обязана быть равной 1. Кроме того, маржинальное распределение совместного распределения может быть выражено как математическое ожидание соответствующего условного распределения. Например, .
Seen as a function of for given , is a probability mass function and so the sum over all (or integral if it is a conditional probability density) is 1. Seen as a function of for given , it is a likelihood function, so that the sum (or integral) over all need not be 1. Additionally, a marginal of a joint distribution can be expressed as the expectation of the corresponding conditional distribution. For instance, .