Введение
Гладкое многообразие
В математике, почти комплексное многообразие — это гладкое многообразие, снабжённое гладкой линейной комплексной структурой на каждом касательном пространстве. Любое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти комплексные структуры имеют важное применение в симплектической геометрии. Концепция принадлежит Чарльзу Эресману и Хайнцу Хопфу и была разработана ими в 1940-х годах.
In mathematics, an almost complex manifold is a smooth manifold equipped with a smooth linear complex structure on each tangent space. Every complex manifold is an almost complex manifold, but there are almost complex manifolds that are not complex manifolds. Almost complex structures have important applications in symplectic geometry. The concept is due to Charles Ehresmann and Heinz Hopf in the 1940s.
Формальное определение
Пусть M — гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на M — это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение, квадрат которого равен −1) на каждом касательном пространстве многообразия, которая плавно меняется на многообразии. Другими словами, у нас есть гладкое тензорное поле J степени (1, 1) такое, что, рассматриваемое как изоморфизм векторных расслоений на касательном расслоении. Многообразие, оснащенное почти комплексной структурой, называется почти комплексным многообразием. Если M допускает почти комплексную структуру, оно должно быть четноразмерным. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, что M имеет n измерений, и пусть J : TM → TM — почти комплексная структура. Если тогда. Но если M — вещественное многообразие, то det J — вещественное число, следовательно, n должно быть четным, если M имеет почти комплексную структуру. Можно показать, что оно также должно быть ориентируемым. Простое упражнение в линейной алгебре показывает, что любое четноразмерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Поэтому четноразмерное многообразие всегда допускает тензор ранга (1, 1), заданный точечно (который является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве), такой что в каждой точке p. Только когда этот локальный тензор можно «склеить», чтобы он был определен глобально, точечная линейная комплексная структура порождает почти комплексную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность такого склеивания и, следовательно, существование почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентна редукции группы структуры касательного расслоения с GL(2n, R) до GL(n, C). Вопрос о существовании является чисто алгебраически-топологическим и достаточно хорошо изучен.
Примеры
Для каждого целого числа n, плоское пространство R2n допускает почти комплексную структуру. Примером такой почти комплексной структуры является (1 ≤ i, j ≤ 2n): для нечетного i, для четного i. Единственные сферы, допускающие почти комплексные структуры, — это S2 и S6. В частности, сфере S4 нельзя придать почти комплексную структуру (Эресма́н и Хопф). В случае S2, почти комплексная структура происходит из настоящей комплексной структуры на сфере Римана. Сфера S6, рассматриваемая как множество единичных по норме мнимых октонионов, наследует почти комплексную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, обладает ли она комплексной структурой, известен как проблема Хопфа, названная в честь Хайнца Хопфа.
structure (Ehresmann and Hopf). In the case of S2, the almost complex structure comes from an honest complex structure on the Riemann sphere. The 6 sphere, S6, when considered as the set of unit norm imaginary octonions, inherits an almost complex structure from the octonion multiplication; the question of whether it has a complex structure is known as the Hopf problem, after Heinz Hopf.
Обобщенная почти сложная структура
Найджел Хитчин ввёл понятие обобщённой почти сложной структуры на многообразии M, которое было развито в докторских диссертациях его студентов Марко Галтьери и Гила Кавальканти. Обычная почти сложная структура представляет собой выбор полуразмерного подпространства каждого волокна комплексифицированного касательного пучка TM. Обобщённая почти сложная структура представляет собой выбор полуразмерного изотропного подпространства каждого волокна прямой суммы комплексифицированных касательного и кокасательного пучков. В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подпучка и его комплексного сопряжённого давала исходный пучок. Почти сложная структура интегрируется в сложную структуру, если полуразмерное подпространство замкнуто относительно скобки Ли. Обобщённая почти сложная структура интегрируется в обобщённую сложную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта. Если, кроме того, это полуразмерное пространство является аннигилятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M является обобщённым многообразием Калаби — Яу.