Кіріспе
Жұпқы манифольд
In mathematics, an almost complex manifold is a smooth manifold equipped with a smooth linear complex structure on each tangent space. Every complex manifold is an almost complex manifold, but there are almost complex manifolds that are not complex manifolds. Almost complex structures have important applications in symplectic geometry. The concept is due to Charles Ehresmann and Heinz Hopf in the 1940s.
Математикада, дерлік комплекс манифольд – әрбір жанама кеңістікте жұпқы сызықтық комплекс құрылымымен жабдықталған жұпқы манифольд. Кез келген комплекс манифольд дерлік комплекс манифольд болып табылады, бірақ комплекс емес дерлік комплекс манифольдтар да бар. Дерлік комплекс құрылымдар симплектикалық геометрияда маңызды қолданысқа ие. Бұл ұғым 1940 жылдары Чарльз Эресман мен Хайнц Хопф есімдерімен байланысты.
In mathematics, an almost complex manifold is a smooth manifold equipped with a smooth linear complex structure on each tangent space. Every complex manifold is an almost complex manifold, but there are almost complex manifolds that are not complex manifolds. Almost complex structures have important applications in symplectic geometry. The concept is due to Charles Ehresmann and Heinz Hopf in the 1940s.
Ресми анықтама
M тегіс көптік болсын. M-дегі J-дің дерлік кешенді құрылымы – көптікке сәйкес тегіс өзгеретін, көптіктің әрбір жанама кеңістігінде -1-ге тең квадратқа ие болатын сызықтық кешенді құрылым. Басқаша айтқанда, бізде (1, 1) дәрежелі J тегіс тензорлық өрісі бар, оны жанама бумделге изоморфизм ретінде қарағанда. Дерлік кешенді құрылыммен жабдықталған көптік – дерлік кешенді көптік деп аталады. Егер M дерлік кешенді құрылымды қабылдаса, онда ол жұп өлшемді болуы керек. Мұны былай қарастыруға болады. M-нің n өлшемді екенін болжайық, және J: TM → TM дерлік кешенді құрылым болсын. Егер онда . Бірақ егер M нақты көптік болса, онда det J – нақты сан, демек, M дерлік кешенді құрылымға ие болса, n жұп сан болуы керек. Оның бағытталған екенін де көрсетуге болады. Сызықтық алгебрадағы қарапайым есеп кез келген жұп өлшемді векторлық кеңістікте сызықтық кешенді құрылым бар екенін көрсетеді. Сондықтан, жұп өлшемді көптік әрқашан әрбір нүктеде p (1, 1) қатарындағы тензорды нүктелік түрде (яғни, әрбір жанама кеңістікте сызықтық түрлендіру) қабылдайды. Тек осы жергілікті тензорды біріктіріп, оны жаһандық түрде анықтағанда ғана нүктелік сызықтық кешенді құрылым дерлік кешенді құрылымды береді, ол содан кейін бірегей түрде анықталады. Осы біріктіру мүмкіндігі және, демек, M көптігінде дерлік кешенді құрылымның болуы, жанама бумделдің құрылымдық тобының GL(2n, R)-ден GL(n, C)-ге дейін азайтылуымен тең. Бұл жағдайда, болу мәселесі таза алгебралық-топологиялық мәселе болып табылады және ол жетік зерттелген.
Мысалдар
Әрбір n бүтін саны үшін R2n жазық кеңістігі дерлік кешенді құрылымға ие. Мұндай дерлік кешенді құрылымның мысалы (1 ≤ i, j ≤ 2n): тақ i үшін, жұп i үшін. Дерлік кешенді құрылымға ие болатын сфералар тек S2 және S6 ғана. Атап айтқанда, S4 сферасына дерлік кешенді құрылым беру мүмкін емес (Эхресман және Хопф). S2 жағдайында, дерлік кешенді құрылым Риман сферасындағы нақты кешенді құрылымнан туындайды. 6 сфера, S6, бірлік нормасы бар жорамал октонийлер жиынтығы ретінде қарастырылғанда, октоний көбейтуінен дерлік кешенді құрылымды мұралайды; оның кешенді құрылымы бар ма деген сұрақ Хайнц Хопфтың есімімен Хопф проблемасы деп аталады.
structure (Ehresmann and Hopf). In the case of S2, the almost complex structure comes from an honest complex structure on the Riemann sphere. The 6 sphere, S6, when considered as the set of unit norm imaginary octonions, inherits an almost complex structure from the octonion multiplication; the question of whether it has a complex structure is known as the Hopf problem, after Heinz Hopf.
Жалпыланған күрделі құрылым
Найджел Хитчин М көптігінде жалпыланған дерлік кешенді құрылым туралы ұғымды енгізді, оны оның студенттері Марко Гуальтьери мен Гил Кавалькантидің докторлық диссертацияларында кеңейтті. Кәдімгі дерлік кешенді құрылым – бұл кешендетілген жанама бундельдің TM әр талшығының жартылай өлшемді кіші кеңістігін таңдау. Жалпыланған дерлік кешенді құрылым – кешендетілген жанама және кожанама бундельдердің тікелей қосындысының әр талшығындағы жартылай өлшемді изотроптық кіші кеңістікті таңдау. Екі жағдайда да кіші бундельдің және оның кешенді конъюгатының тікелей қосындысы бастапқы бундельді береді. Егер жартылай өлшемді кіші кеңістік Лай жақшасы бойынша жабық болса, онда дерлік кешенді құрылым кешенді құрылымға интегралданады. Жалпыланған дерлік кешенді құрылым жалпыланған кешенді құрылымға интегралданады, егер кіші кеңістік Курант жақшасы бойынша жабық болса. Егер бұл жартылай өлшемді кеңістік нөлде жоқ таза спинордың жойғышы болса, онда M жалпыланған Калаби–Яу көптігі болып табылады.