Введение

Операция в теории групп

В математике, в частности в теории групп, понятие полупрямого произведения является обобщением прямого произведения. Существуют два тесно связанных понятия полупрямого произведения: внутреннее полупрямое произведение – это особый способ, которым группа может быть составлена из двух подгрупп, одна из которых является нормальной подгруппой. Внешнее полупрямое произведение – это способ построения новой группы из двух заданных групп, используя декартово произведение в качестве множества и определенную операцию умножения. Как и в случае прямых произведений, существует естественная эквивалентность между внутренними и внешними полупрямыми произведениями, и оба обычно называют просто полупрямыми произведениями. Для конечных групп теорема Шура — Цассенхауса предоставляет достаточное условие для существования разложения в полупрямое произведение (также известное как расщепляющееся расширение).

Диедрическая группа

Диэдральная группа с 2n элементами изоморфна полупрямому произведению циклических групп ℤₙ и ℤ₂. Неединичный элемент ℤ₂ действует на ℤₙ посредством инвертирования элементов; это автоморфизм, поскольку ℤₙ абелева. Представление для этой группы:

Группа изометрий на плоскости

Евклидова группа всех жестких движений (изометрий) плоскости (отображения, при которых евклидово расстояние между x и y равно расстоянию между f(x) и f(y) для всех x и y) изоморфна полупрямому произведению абелевой группы (описывающей сдвиги) и группы O(2) ортогональных матриц 2 × 2 (описывающей вращения и отражения, фиксирующие начало координат). Применение сдвига, а затем вращения или отражения дает тот же результат, что и применение сначала вращения или отражения, а затем сдвига на сдвинутый вращением или отражением вектор (то есть применение сопряженного исходного сдвига). Это показывает, что группа сдвигов является нормальной подгруппой евклидовой группы, что евклидова группа является полупрямым произведением группы сдвигов и O(2), и что соответствующий гомоморфизм задается умножением матриц: .

Ортогональная группа O ((n)

Ортогональная группа O(n) всех ортогональных вещественных n × n матриц (интуитивно множество всех вращений и отражений n-мерного пространства, сохраняющих начало координат) изоморфна полупрямому произведению группы SO(n) (состоящей из всех ортогональных матриц с детерминантом 1, интуитивно вращений n-мерного пространства) и группы, представляемой как мультипликативная группа матриц, где R – отражение n-мерного пространства, сохраняющее начало координат (то есть ортогональная матрица с детерминантом –1, представляющая инволюцию). Тогда это задается формулой для всех H из этой группы и N из SO(n). В нетривиальном случае (когда H не является единичной матрицей) это означает, что φ(H) является сопряжением операций отражением (в трехмерном пространстве ось вращения и направление вращения заменяются их "зеркальным отображением").

Полулинейные преобразования

Группа полулинейных преобразований векторного пространства V над полем , часто обозначаемая ΓL(V), изоморфна полупрямому произведению линейной группы GL(V) (являющейся нормальной подгруппой в ΓL(V)) и группы автоморфизмов поля .

Кристаллографические группы

В кристаллографии, пространственная группа кристалла распадается на полупрямое произведение точечной группы и группы трансляций тогда и только тогда, когда пространственная группа является симморфной. Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, которые даже не содержатся в пространственной группе как подмножество, что обуславливает значительную сложность их анализа.

Непримеры

Конечно, ни одна простая группа не может быть представлена в виде полупрямого произведения (поскольку у них нет нетривиальных нормальных подгрупп), но существуют несколько известных контрпримеров групп, содержащих нетривиальную нормальную подгруппу, которые, тем не менее, нельзя представить в виде полупрямого произведения. Следует отметить, что хотя не каждую группу можно представить как расщепляемое расширение группы одной другой, оказывается, что такую группу можно вложить в венечный продукт посредством универсальной теоремы о вложениях.

Z4

Циклическая группа не является простой группой, поскольку она имеет подгруппу порядка 2, а именно, является подгруппой, и их факторгруппа равна , поэтому существует расширение. Если это расширение расщепляемое, то группа будет изоморфна .

Q8

Группа восьми кватернионов, где и , является еще одним примером группы, которая имеет нетривиальные нормальные подгруппы, но при этом не является расщепляемой. Например, подгруппа, порожденная , изоморфна и является нормальной. Это означало бы, что должна существовать расщепляемое расширение в следующей гипотетической точной последовательности групп: , но такой точной последовательности не существует. Это можно показать, вычислив первую когомологическую группу группы с коэффициентами в , то есть , и отметив, что две группы в этих расширениях – это и диэдрическая группа. Но, поскольку ни одна из этих групп не изоморфна , кватернионная группа не является расщепляемой. Отсутствие этих изоморфизмов можно проверить, заметив, что тривиальное расширение абелево, а неабелево, и заметив, что единственными нормальными подгруппами являются и , а имеет три подгруппы, изоморфные .

Свойства

Если G является полупрямым произведением нормальной подгруппы N и подгруппы H, и обе подгруппы N и H конечны, то порядок G равен произведению порядков N и H. Это следует из того, что порядок G совпадает с порядком внешнего полупрямого произведения N и H, базовым множеством которого является декартово произведение N × H.

Отношение к прямым продуктам

Предположим, G является полупрямым произведением нормальной подгруппы N и подгруппы H. Если H также нормальна в G, или, что эквивалентно, если существует гомоморфизм G → N, являющийся тождественным отображением на N с ядром H, то G является прямым произведением N и H.

Прямое произведение двух групп N и H можно рассматривать как полупрямое произведение N и H относительно тождественного отображения для всех h из H.

Следует отметить, что в прямом произведении порядок сомножителей не имеет значения, поскольку N × H изоморфно H × N. Это не так для полупрямых произведений, поскольку два сомножителя играют разные роли. Более того, результат (собственного) полупрямого произведения посредством нетривиального гомоморфизма никогда не является абелевой группой, даже если сомножители абелевы.

Существование

В целом, не существует известной характеристики (то есть необходимого и достаточного условия) существования полупрямых произведений в группах. Однако известны некоторые достаточные условия, гарантирующие существование в определенных случаях. Для конечных групп теорема Шура — Цассенхауса гарантирует существование полупрямого произведения, когда порядок нормальной подгруппы взаимно прост с порядком факторгруппы. Например, теорема Шура — Цассенхауса подразумевает существование полупрямого произведения среди групп порядка 6; существует два таких произведения, одно из которых является прямым произведением, а другое — диэдрической группой. В отличие от этого, теорема Шура — Цассенхауса ничего не говорит, например, о группах порядка 4 или группах порядка 8.

Обобщения

В рамках теории групп, построение полупрямых произведений может быть значительно расширено. Произведение Zappa–Szép групп является обобщением, которое в своей внутренней версии не требует нормальности какой-либо из подгрупп. В теории колец также существует конструкция – пересеченное произведение колец, которое естественно строится из группового кольца для полупрямого произведения групп. Теоретико-кольцевой подход может быть далее обобщен до полупрямой суммы алгебр Ли. Для геометрии существует также пересеченное произведение для групповых действий на топологическом пространстве; к сожалению, оно в общем случае некоммутативно, даже если группа абелева. В этом контексте полупрямое произведение представляет собой пространство орбит группового действия. Этот подход был поддержан Аленом Конном как альтернатива традиционным топологическим методам; см. некомутативную геометрию. Полупрямое произведение является частным случаем конструкции Гротендика в теории категорий. В частности, действие на (сохраняющее групповую, или даже просто моноидную структуру) эквивалентно функтору из группоида, ассоциированного с H (имеющего единственный объект *, эндоморфизмы которого образуют H), в категорию категорий, отображающего единственный объект * в . Конструкция Гротендика для этого функтора эквивалентна , (группоиду, ассоциированному с) полупрямым произведением.

Группоиды

Другое обобщение относится к группоидам. Это проявляется в топологии, поскольку если группа G действует на пространстве X, то она также действует на фундаментальный группоид этого пространства. Полупрямое произведение оказывается важным при определении фундаментального группоида орбитального пространства X/G. Подробности можно найти в главе 11 упомянутой ниже книги, а также в статье о полупрямом произведении на ncatlab.

Абелевы категории

Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях, таких как категория модулей. В этом случае лемма о расщеплениях показывает, что любое полупрямое произведение является прямым произведением. Следовательно, существование полупрямых произведений указывает на то, что категория не является абелевой.