Нормальные и нормально разделенные топологические пространства

Введение

Тип топологического пространства – нормальное пространство.

В топологии и смежных областях математики нормальное пространство — это топологическое пространство X, удовлетворяющее аксиоме T4: любые два непересекающихся замкнутых множества в X имеют непересекающиеся открытые окрестности. Нормальное пространство Хаусдорфа также называют пространством T4. Эти условия являются примерами аксиом разделения, а их дальнейшее усиление определяет полностью нормальные пространства Хаусдорфа, или пространства T5, и вполне нормальные пространства Хаусдорфа, или пространства T6.

Определения

Топологическое пространство X является нормальным пространством, если для любых непересекающихся замкнутых множеств E и F существуют окрестности U множества E и V множества F, которые также не пересекаются. Более интуитивно, это условие означает, что E и F могут быть разделены окрестностями. Пространство T4 — это T1-пространство X, являющееся нормальным; это эквивалентно тому, что X является нормальным и хаусдорфовым. Полностью нормальное пространство, или наследственно нормальное пространство, — это топологическое пространство X, такое что каждое подпространство X является нормальным пространством. Оказывается, X является полностью нормальным тогда и только тогда, когда любые два разделенных множества могут быть разделены окрестностями. Кроме того, X является полностью нормальным тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество X нормально с индуцированной топологией. Пространство T5, или полностью T4, — это полностью нормальное T1-пространство X, что подразумевает, что X является хаусдорфовым; эквивалентно, каждое подпространство X должно быть пространством T4. Совершенно нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором любые два непересекающихся замкнутых множества E и F могут быть точно разделены функцией, в том смысле, что существует непрерывная функция f из X в интервал [0, 1] такая, что f(E) = {0} и f(F) = {1}. Это более сильное свойство разделения, чем нормальность, поскольку по лемме Урысона непересекающиеся замкнутые множества в нормальном пространстве могут быть разделены функцией, в смысле f(E) ∩ f(F) = ∅, но не обязательно точно разделены. Оказывается, X является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда X является нормальным и каждое замкнутое множество является множеством Gδ. Эквивалентно, X является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество является нуль-множеством непрерывной функции. Эквивалентность между этими тремя характеристиками называется теоремой Веденисова. Любое совершенно нормальное пространство является полностью нормальным, поскольку совершенная нормальность является наследственным свойством. Пространство T6, или совершенно T4, — это совершенно нормальное хаусдорфово пространство. Следует отметить, что термины "нормальное пространство" и "T4", а также производные понятия, иногда имеют другое значение. (Тем не менее, "T5" всегда означает то же самое, что и "полностью T4", что бы это ни было.) Здесь приведены определения, которые обычно используются в настоящее время. Более подробно об этом вопросе см. Историю аксиом разделения. Такие термины, как "нормальное регулярное пространство" и "нормальное хаусдорфово пространство", также встречаются в литературе — они просто означают, что пространство является нормальным и удовлетворяет другому упомянутому условию. В частности, нормальное хаусдорфово пространство — это то же самое, что и пространство T4. Учитывая историческую путаницу в значениях терминов, полезны словесные описания, когда это применимо, то есть "нормальный хаусдорф" вместо "T4" или "совершенно нормальный хаусдорф" вместо "T5". Полностью нормальные пространства и полностью T4 пространства обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактностью. Локально нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, являющуюся нормальным пространством. Каждое нормальное пространство является локально нормальным, но обратное неверно. Классическим примером полностью регулярного локально нормального пространства, которое не является нормальным, является плоскость Немицкого.

A topological space X is a normal space if, given any disjoint closed sets E and F, there are neighbourhoods U of E and V of F that are also disjoint. More intuitively, this condition says that E and F can be separated by neighbourhoods. A T4 space is a T1 space X that is normal; this is equivalent to X being normal and Hausdorff. A completely normal space, or hereditarily normal space, is a topological space X such that every subspace of X is a normal space. It turns out that X is completely normal if and only if every two separated sets can be separated by neighbourhoods. Also, X is completely normal if and only if every open subset of X is normal with the subspace topology. A T5 space, or completely T4 space, is a completely normal T1 space X, which implies that X is Hausdorff; equivalently, every subspace of X must be a T4 space. A perfectly normal space is a topological space in which every two disjoint closed sets and can be precisely separated by a function, in the sense that there is a continuous function from to the interval such that and This is a stronger separation property than normality, as by Urysohn's lemma disjoint closed sets in a normal space can be separated by a function, in the sense of and , but not precisely separated in general. It turns out that X is perfectly normal if and only if X is normal and every closed set is a Gδ set. Equivalently, X is perfectly normal if and only if every closed set is the zero set of a continuous function. The equivalence between these three characterizations is called Vedenissoff's theorem. Every perfectly normal space is completely normal, because perfect normality is a hereditary property. A T6 space, or perfectly T4 space, is a perfectly normal Hausdorff space. Note that the terms "normal space" and "T4" and derived concepts occasionally have a different meaning. (Nonetheless, "T5" always means the same as "completely T4", whatever that may be.) The definitions given here are the ones usually used today. For more on this issue, see History of the separation axioms. Terms like "normal regular space" and "normal Hausdorff space" also turn up in the literature—they simply mean that the space both is normal and satisfies the other condition mentioned. In particular, a normal Hausdorff space is the same thing as a T4 space. Given the historical confusion of the meaning of the terms, verbal descriptions when applicable are helpful, that is, "normal Hausdorff" instead of "T4", or "completely normal Hausdorff" instead of "T5". Fully normal spaces and fully T4 spaces are discussed elsewhere; they are related to paracompactness. A locally normal space is a topological space where every point has an open neighbourhood that is normal. Every normal space is locally normal, but the converse is not true. A classical example of a completely regular locally normal space that is not normal is the Nemytskii plane.

Примеры нестандартных пространств

Важным примером ненормальной топологии является топология Зариски на алгебраическом многообразии или на спектре кольца, которая используется в алгебраической геометрии. Ненормальным пространством, представляющим интерес для анализа, является топологическое векторное пространство всех функций из действительной прямой R в себя, с топологией поточечной сходимости. В более общем виде, теорема Артура Гарольда Стоуна утверждает, что произведение несчётного числа некомпактных метрических пространств никогда не является нормальным.

Отношения с другими аксиомами разделения

Если нормальное пространство является R0, то оно фактически полностью регулярно. Таким образом, всё, от "нормального R0" до "нормального полностью регулярного", соответствует тому, что мы обычно называем нормальным регулярным пространством. Рассматривая факторпространства Колмогорова, мы видим, что все нормальные T1-пространства являются тихоноффскими. Это то, что мы обычно называем нормальными пространствами Хаусдорфа. Топологическое пространство называется псевдонормальным, если для любых двух непересекающихся замкнутых множеств в нём, одно из которых счетное, существуют непересекающиеся открытые множества, содержащие эти множества. Любое нормальное пространство является псевдонормальным, но не наоборот. Контрпримеры к некоторым вариациям этих утверждений можно найти в вышеуказанных списках. В частности, пространство Серпинского является нормальным, но не регулярным, а пространство функций из R в себя – тихоноффским, но не нормальным.