Введение

Модуль, удовлетворяющий условию убывающей цепи подмодулей.
В математике, в частности в абстрактной алгебре, артинов модуль — это модуль, удовлетворяющий условию убывающей цепи на частично упорядоченном множестве своих подмодулей. Артиновские модули играют ту же роль, что и артиновские кольца для колец, и кольцо является артиновским тогда и только тогда, когда оно является артиновским модулем над собой (с левым или правым умножением). Оба понятия названы в честь Эмиля Артина. При наличии аксиомы (зависимого) выбора условие убывающей цепи эквивалентно минимальному условию, поэтому его можно использовать в определении вместо условия убывающей цепи. Как и нотеровы модули, артиновы модули обладают следующим свойством наследственности:
Если M — артинов R-модуль, то любой его подмодуль и любой фактормодуль M также являются артиновыми.
Обратное также верно:
Если M — произвольный R-модуль и N — произвольный артинов подмодуль, такой что M/N артинов, то M артинов. Как следствие, любой конечно порожденный модуль над артиновым кольцом является артиновым. Поскольку артиновое кольцо также является нотеровым кольцом, а конечно порожденные модули над нотеровым кольцом являются нотеровыми, верно, что для артинового кольца R любой конечно порожденный R-модуль является одновременно нотеровым и артиновым и называется модулем конечной длины. Также следует, что любой конечно порожденный артинов модуль является нотеровым даже без предположения, что R является артиновым. Однако, если R не является артиновым и M не является конечно порожденным, существуют контрпримеры.

Левые и правые кольца, модули и бимодули Артиния

Кольцо R можно рассматривать как правый модуль, где действие является естественным, заданным умножением кольца справа. R называется право-артинианским, когда этот правый модуль R является артинианским модулем. Определение "лево-артинианского кольца" дается аналогично. Для некоммутативных колец это различие необходимо, поскольку кольцо может быть артинианским с одной стороны, но не с другой. Прилагательные "левый" и "правый" обычно не требуются для модулей, поскольку модуль M обычно задается как левый или правый R-модуль изначально. Однако возможно, что M может иметь как левую, так и правую R-модульную структуру, и тогда называть M артинианским становится неоднозначно, и необходимо уточнить, какая модульная структура является артинианской. Чтобы разграничить свойства двух структур, можно злоупотреблять терминологией и называть M лево-артинианским или право-артинианским, когда, строго говоря, правильно сказать, что M, с его левой R-модульной структурой, является артинианским. Появление модулей с левой и правой структурой не является необычным: например, R само по себе имеет левую и правую R-модульную структуру. Фактически, это пример бимодуля, и возможно, что абелева группа M может быть превращена в левый R-бимодуль, правый S-бимодуль для другого кольца S. Действительно, для любого правого модуля M он автоматически является левым модулем над кольцом целых чисел Z, и, кроме того, является Z-R бимодулем. Например, рассмотрим рациональные числа Q как Z-Q бимодуль естественным образом. Тогда Q не является артинианским как левый Z-модуль, но является артинианским как правый Q-модуль. Условие Артиния может быть определено и для бимодульных структур: артинианский бимодуль — это бимодуль, чей частично упорядоченный набор подбимодулей удовлетворяет условию убывающей цепи. Поскольку подбимодуль бимодуля R-S M является тем более левым R-модулем, если M рассматривается как левый R-модуль, то M автоматически является артинианским бимодулем. Однако может случиться, что бимодуль является артинианским, без того чтобы его левая или правая структура была артинианской, как покажет следующий пример. Пример: Хорошо известно, что простое кольцо является лево-артинианским тогда и только тогда, когда оно право-артинианское, в этом случае это полупростое кольцо. Пусть R — простое кольцо, которое не является право-артинианским. Тогда оно также не является лево-артинианским. Рассматривая R как R-R бимодуль естественным образом, его подбимодули являются именно идеалами R. Поскольку R простое, их только два: R и нулевой идеал. Таким образом, бимодуль R является артинианским как бимодуль, но не является артинианским как левый или правый R-модуль над собой.

Связь с условием Ноэтера

В отличие от случая с кольцами, существуют артинианские модули, которые не являются ноэтерианскими модулями. Например, рассмотрим p-первичную компоненту , то есть , которая изоморфна p-квазициклической группе , рассматриваемой как -модуль. Цепь не прерывается, поэтому (и, следовательно, ) не является ноэтерианской. Однако любая убывающая цепь (без потери общности) собственных подмодулей прерывается: каждая такая цепь имеет вид для некоторых целых чисел , и включение влечет, что должно делить . Таким образом, является убывающей последовательностью положительных целых чисел. Следовательно, последовательность прерывается, что делает артинианским. Отметим, что также является верным -модулем. Таким образом, это также дает пример верного артинианского модуля над неартинианским кольцом. Этого не происходит в ноэтерианском случае: если M — верный ноэтерианский модуль над A, то A также является ноэтерианским. Над коммутативным кольцом каждый циклический артинианский модуль также является ноэтерианским, но над некоммутативными кольцами циклические артинианские модули могут иметь несчетную длину, как показано в статье Хартли и хорошо суммировано в статье Пола Кона, посвященной памяти Хартли. Другой важный результат — теорема Акидзуки — Хопкинса — Левицки, которая утверждает, что условия артинианскости и ноэтерианскости эквивалентны для модулей над полупервичным кольцом.