Введение

В области математики, известной как топология, специализационный (или канонический) предзаказ является естественным предзаказом на множестве точек топологического пространства. Для большинства пространств, рассматриваемых на практике, то есть для всех пространств, удовлетворяющих аксиоме разделения T0, этот предзаказ является даже частичным порядком (называемым порядком специализации). С другой стороны, для пространств T1 порядок становится тривиальным и не представляет особого интереса. Порядок специализации часто рассматривается в приложениях в информатике, где пространства T0 возникают в денотационной семантике. Специализационный порядок также важен для определения подходящих топологий на частично упорядоченных множествах, что делается в теории порядка.

Верхние и нижние наборы

Пусть X — топологическое пространство и ≤ — предзаказ специализации на X. Каждое открытое множество является верхним множеством относительно ≤, а каждое замкнутое множество — нижним множеством. Обратное утверждение неверно в общем случае. Фактически, топологическое пространство является дискретным пространством Александрова тогда и только тогда, когда каждое верхнее множество также открыто (или, эквивалентно, каждое нижнее множество также замкнуто). Пусть A — подмножество X. Наименьшее верхнее множество, содержащее A, обозначается ↑A, а наименьшее нижнее множество, содержащее A, обозначается ↓A. Если A = {x} — одноэлементное множество, то используется обозначение ↑x и ↓x. Для x ∈ X имеем: ↑x = {y ∈ X : x ≤ y} = ∩{открытые множества, содержащие x}. ↓x = {y ∈ X : y ≤ x} = ∩{замкнутые множества, содержащие x} = cl{x}. Нижнее множество ↓x всегда замкнуто; однако верхнее множество ↑x не обязательно открыто или замкнуто. Замкнутые точки топологического пространства X — это как раз минимальные элементы X относительно ≤.

Примеры

В пространстве Сиерпинского {0,1} с открытыми множествами {∅, {1}, {0,1}} порядок специализации является естественным (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 и 1 ≤ 1). Если p и q – элементы Spec(R) (спектр коммутативного кольца R), то p ≤ q тогда и только тогда, когда q ⊆ p (как простые идеалы). Следовательно, замкнутые точки Spec(R) – это именно максимальные идеалы.

Топологии по заказам

Порядок специализации предоставляет средство для получения предпорядка из любой топологии. Естественно задаться вопросом и об обратном: можно ли любой предзаказ получить как предзаказ специализации некоторой топологии? Действительно, ответ на этот вопрос положительный, и в общем случае существует множество топологий на множестве X, которые индуцируют заданный порядок ≤ как свой порядок специализации. Особую роль играет топология Александрова порядка ≤: это самая тонкая топология, которая индуцирует ≤. Другая крайность, самая грубая топология, индуцирующая ≤, – это верхняя топология, наименьшая топология, в которой все дополнения множеств ↓x (для некоторого x из X) открыты. Между этими двумя крайностями существуют и другие интересные топологии. Наиболее трезвая топология, согласованная с заданным порядком ≤ в вышеуказанном смысле, – это топология Скотта. Однако верхняя топология по-прежнему является самой грубой трезвой топологией, согласованной с порядком. Фактически, ее открытые множества даже недостижимы посредством супремумов. Следовательно, любое трезвое пространство с порядком специализации ≤ тоньше верхней топологии и грубее топологии Скотта. Тем не менее, такое пространство может и не существовать, то есть существуют частичные порядки, для которых не существует трезвой топологии, согласованной с порядком. В частности, топология Скотта не обязательно является трезвой.