Введение
Набор точек, удовлетворяющих некоторым заданным условиям.
В геометрии локус (множественное число: локусы) (латинское слово для "места", "положения") — это множество всех точек (обычно, прямая, отрезок прямой, кривая или поверхность), положение которых удовлетворяет или определяется одним или несколькими заданными условиями. Множество точек, удовлетворяющих некоторому свойству, часто называют локусом точки, обладающей этим свойством. Использование единственного числа в этой формулировке свидетельствует о том, что до конца XIX века математики не рассматривали бесконечные множества. Вместо того чтобы рассматривать прямые и кривые как множества точек, они рассматривали их как места, где точка может находиться или перемещаться.
История и философия
До начала XX века геометрическая фигура (например, кривая) не рассматривалась как бесконечное множество точек; скорее, она понималась как нечто, на котором точка может находиться или по которой она движется. Таким образом, окружность в евклидовой плоскости определялась как геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от фиксированной точки, центра окружности. В современной математике подобные понятия чаще переформулируют, описывая фигуры как множества; например, говорят, что окружность – это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. В отличие от подхода, основанного на теории множеств, старая формулировка избегала рассмотрения бесконечных совокупностей, поскольку отказ от актуальной бесконечности был важной философской позицией математиков прошлого. Термин «локус» устарел. Тем не менее, это слово по-прежнему широко используется, главным образом для краткости формулировок, например:
Критический локус – множество критических точек дифференцируемой функции. Нулевой локус или локус нулей – множество точек, в которых функция обращается в ноль, то есть принимает значение ноль. Сингулярный локус – множество сингулярных точек алгебраического многообразия. Локус связности – подмножество множества параметров семейства рациональных функций, для которых множество Жюлиа функции связно. В последнее время такие методы, как теория схем и использование теории категорий вместо теории множеств в качестве основания математики, вернулись к представлениям, более близким к первоначальному определению локуса как объекта самого по себе, а не как множества точек.
Critical locus, the set of the critical points of a differentiable function. Zero locus or vanishing locus, the set of points where a function vanishes, in that it takes the value zero. Singular locus, the set of the singular points of an algebraic variety. Connectedness locus, the subset of the parameter set of a family of rational functions for which the Julia set of the function is connected. More recently, techniques such as the theory of schemes, and the use of category theory instead of set theory to give a foundation to mathematics, have returned to notions more like the original definition of a locus as an object in itself rather than as a set of points.
Третий пример
Локус также может быть определен двумя связанными кривыми, зависящими от одного общего параметра. Если параметр изменяется, точки пересечения этих связанных кривых описывают локус. На рисунке точки K и L – фиксированные точки на данной прямой m. Прямая k – переменная прямая, проходящая через K. Прямая l, проходящая через L, перпендикулярна k. Угол между k и m является параметром. Кривые k и l – связанные кривые, зависящие от общего параметра. Переменная точка пересечения S прямых k и l описывает окружность. Эта окружность является локусом точки пересечения двух связанных кривых.
Четвертый пример
Локус точек не обязательно должен быть одномерным (как окружность, прямая и т. д.). Например, локус неравенства 2x + 3y – 6 < 0 представляет собой часть плоскости, лежащую ниже прямой, определяемой уравнением 2x + 3y – 6 = 0.