Введение
Выход динамической системы на кратковременное воздействие
В теории обработки сигналов и теории управления, импульсная характеристика, или функция импульсного отклика (IRF) динамической системы, – это её выход при воздействии кратковременного входного сигнала, называемого импульсом (δ(t)). В более общем смысле, импульсная характеристика – это реакция любой динамической системы на некоторое внешнее изменение. В обоих случаях импульсная характеристика описывает реакцию системы как функцию времени (или, возможно, как функцию другой независимой переменной, параметризующей динамическое поведение системы). Во всех этих случаях динамическая система и её импульсная характеристика могут представлять собой реальные физические объекты или математические системы уравнений, описывающие такие объекты. Поскольку импульс содержит все частоты (см. преобразование Фурье дельта-функции Дирака, демонстрирующее бесконечную полосу пропускания дельта-функции Дирака), импульсная характеристика определяет отклик линейной стационарной системы на всех частотах.
Математические соображения
Математически, то, как описывается импульс, зависит от того, смоделирована ли система в дискретном или непрерывном времени. Импульс может быть смоделирован как дельта-функция Дирака для систем непрерывного времени или как дискретная единичная выборка для систем дискретного времени. Дельта-функция Дирака представляет собой предельный случай импульса, сделанного очень коротким по времени, при этом сохраняющего свою площадь или интеграл (что дает бесконечно высокую амплитуду). Хотя это невозможно в какой-либо реальной системе, это полезная идеализация. В теории анализа Фурье такой импульс состоит из равных долей всех возможных возбуждающих частот, что делает его удобным тестовым сигналом. Любая система из большого класса, известного как линейная, стационарная во времени (LTI), полностью характеризуется своей импульсной характеристикой. То есть, для любого входного сигнала выходной сигнал может быть вычислен на основе входного сигнала и импульсной характеристики. (См. теорию систем LTI.) Импульсная характеристика линейного преобразования является образом дельта-функции Дирака при этом преобразовании, аналогично фундаментальному решению дифференциального оператора. Обычно проще анализировать системы, используя передаточные функции, чем импульсные характеристики. Передаточная функция является преобразованием Лапласа импульсной характеристики. Преобразование Лапласа выходного сигнала системы может быть определено путем умножения передаточной функции на преобразование Лапласа входного сигнала в комплексной плоскости, также известной как частотная область. Обратное преобразование Лапласа этого результата даст выходной сигнал во временной области. Для непосредленного определения выходного сигнала во временной области требуется свертка входного сигнала с импульсной характеристикой. Когда передаточная функция и преобразование Лапласа входного сигнала известны, эта свертка может быть более сложной, чем альтернативное умножение двух функций в частотной области. Импульсная характеристика, рассматриваемая как функция Грина, может рассматриваться как "функция влияния": как точка воздействия на вход влияет на выход.
Практическое применение
В практических системах невозможно создать идеальный импульс для использования в качестве входного сигнала при тестировании; поэтому в качестве приближения к импульсу иногда используется короткий импульс. Если длительность импульса достаточно мала по сравнению с импульсной характеристикой, результат будет близок к истинной, теоретической импульсной характеристике. Однако во многих системах воздействие очень коротким, но сильным импульсом может перевести систему в нелинейный режим, поэтому вместо этого систему возбуждают псевдослучайной последовательностью, а импульсная характеристика вычисляется на основе входного и выходного сигналов.
Громкоговорители
Приложением, демонстрирующим эту идею, стала разработка метода измерения импульсной характеристики громкоговорителей в 1970-х годах. Громкоговорители подвержены фазовым искажениям – дефекту, отличающемуся от других измеряемых параметров, таких как частотная характеристика. Фазовые искажения вызываются (небольшой) задержкой частот/октав, которая в основном обусловлена пассивными кроссоверами (особенно фильтрами высшего порядка), но также может быть вызвана резонансом, накоплением энергии в диффузоре, внутренним объемом или вибрацией панелей корпуса. Измерение импульсной характеристики, представляющей собой непосредственный график этого "расплывания во времени", предоставило инструмент для снижения резонансов путем использования улучшенных материалов для диффузоров и корпусов, а также внесения изменений в кроссоверы динамиков. Необходимость ограничения входной амплитуды для поддержания линейности системы привела к использованию сигналов, таких как псевдослучайные последовательности максимальной длины, и к применению компьютерной обработки для получения импульсной характеристики.
Электронная обработка
Анализ импульсной характеристики — важная составляющая радиолокации, ультразвуковой визуализации и многих областей цифровой обработки сигналов. Интересным примером являются широкополосные интернет-соединения. Сервисы DSL/широкополосного доступа используют адаптивные методы эквализации для компенсации искажений и помех, вносимых медными телефонными линиями, по которым осуществляется передача сигнала.
Системы управления
В теории управления импульсная характеристика — это реакция системы на дельта-импульс Дирака. Это полезно при анализе динамических систем, поскольку преобразование Лапласа дельта-функции равно единице, а значит, импульсная характеристика эквивалентна обратному преобразованию Лапласа передаточной функции системы.
Акустические и аудиоприложения
В акустических и аудиоприложениях импульсные характеристики позволяют зафиксировать акустические особенности пространства, например, концертного зала. Доступны различные библиотеки, содержащие импульсные характеристики, полученные в разных местах – от небольших комнат до больших концертных залов. Эти импульсные характеристики затем можно использовать в приложениях сверточной реверберации для применения акустических особенностей конкретного пространства к целевому аудиосигналу. В обработке сигнала электрогитары и моделировании усилителей записи импульсных характеристик часто используются программным обеспечением для моделирования, чтобы воссоздать звучание гитарных динамиков.
Экономика
В экономике, и особенно в современном макроэкономическом моделировании, функции импульсных реакций используются для описания того, как экономика реагирует со временем на экзогенные импульсы, которые экономисты обычно называют шоками, и которые часто моделируются в контексте векторной авторегрессии. Импульсы, часто рассматриваемые как экзогенные с макроэкономической точки зрения, включают изменения в государственных расходах, налоговых ставках и других параметрах фискальной политики; изменения в денежной базе или других параметрах денежно-кредитной политики; изменения в производительности или других технологических параметрах; и изменения в предпочтениях, таких как степень нетерпеливости. Функции импульсных реакций описывают реакцию эндогенных макроэкономических переменных, таких как выпуск, потребление, инвестиции и занятость, в момент шока и в последующие периоды времени. В последнее время в литературе появились асимметричные функции импульсных реакций, которые разделяют влияние положительного шока и отрицательного шока.