Касание внутревней окружности и девятиточечной окружности треугольника
Feuerbach point
Точка касания окружности инциркуляции и девятиточечной окружности треугольника – точка Фейербаха. Теорема Фейербаха и доказательство Кейси. Геометрия треугольников.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Точка касания окружности и девятиточечной окружности треугольника
Point where the incircle and nine point circle of a triangle are tangent
В геометрии треугольников окружность и девятиточечная окружность треугольника внутренне касаются друг друга в точке Фейербаха треугольника. Точка Фейербаха является центром треугольника, что означает, что её определение не зависит от расположения и масштаба треугольника. Она обозначена как X(11) в Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга и названа в честь Карла Вильгельма Фейербаха. Теорема Фейербаха, опубликованная Фейербахом в 1822 году, в более общем виде утверждает, что девятиточечная окружность касается трёх экциркуллов треугольника, а также его вписанной окружности. Очень короткое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Кейси о битангентах четырёх окружностей, касающихся пятой окружности, было опубликовано Джоном Кейси в 1866 году; теорема Фейербаха также использовалась в качестве тестового примера для автоматического доказательства теорем. Три точки касания с экциркуллами образуют треугольник Фейербаха данного треугольника.
In the geometry of triangles, the incircle and nine point circle of a triangle are internally tangent to each other at the Feuerbach point of the triangle. The Feuerbach point is a triangle center, meaning that its definition does not depend on the placement and scale of the triangle. It is listed as X(11) in Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers, and is named after Karl Wilhelm Feuerbach. Feuerbach's theorem, published by Feuerbach in 1822, states more generally that the nine point circle is tangent to the three excircles of the triangle as well as its incircle. A very short proof of this theorem based on Casey's theorem on the bitangents of four circles tangent to a fifth circle was published by John Casey in 1866; Feuerbach's theorem has also been used as a test case for automated theorem proving. The three points of tangency with the excircles form the Feuerbach triangle of the given triangle.
Строительство
Внутренняя окружность треугольника ABC — это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника. Её центр, инцентр треугольника, лежит в точке пересечения трех внутренних биссектрис углов треугольника. Девятиточечная окружность — это другая окружность, определяемая треугольником. Она называется так, потому что проходит через девять значимых точек треугольника, среди которых проще всего построить середины сторон треугольника. Девятиточечная окружность проходит через эти три середины сторон, следовательно, является описанной окружностью медиального треугольника. Эти две окружности пересекаются в одной точке, где они касаются друг друга. Эта точка касания называется точкой Фейербаха треугольника. С внутренней окружностью треугольника связаны еще три окружности — вневписанные окружности. Это окружности, каждая из которых касается трех прямых, содержащих стороны треугольника. Каждая вневписанная окружность касается одной из этих прямых с противоположной стороны треугольника и лежит на той же стороне, что и треугольник относительно двух других прямых. Как и внутренняя окружность, вневписанные окружности все касаются девятиточечной окружности. Точки касания этих окружностей с девятиточечной окружностью образуют треугольник, называемый треугольником Фейербаха.
The incircle of a triangle ABC is a circle that is tangent to all three sides of the triangle. Its center, the incenter of the triangle, lies at the point where the three internal angle bisectors of the triangle cross each other. The nine point circle is another circle defined from a triangle. It is so called because it passes through nine significant points of the triangle, among which the simplest to construct are the midpoints of the triangle's sides. The nine point circle passes through these three midpoints; thus, it is the circumcircle of the medial triangle. These two circles meet in a single point, where they are tangent to each other. That point of tangency is the Feuerbach point of the triangle. Associated with the incircle of a triangle are three more circles, the excircles. These are circles that are each tangent to the three lines through the triangle's sides. Each excircle touches one of these lines from the opposite side of the triangle, and is on the same side as the triangle for the other two lines. Like the incircle, the excircles are all tangent to the nine point circle. Their points of tangency with the nine point circle form a triangle, the Feuerbach triangle.
Свойства
Точка Фейербаха лежит на прямой, проходящей через центры двух касательных окружностей, которые её определяют. Эти центры – инцентр и центр девяти точек треугольника. Или, эквивалентно, наибольшее из трех расстояний равно сумме двух других. В частности, где O – описанная окружность треугольника, а I – его центр. Последнее свойство также справедливо для точки касания любой из вневписанных окружностей с окружностью девяти точек: наибольшее расстояние от этой точки касания до середины одной из сторон исходного треугольника равно сумме расстояний до середин двух других сторон. Если вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, AB в точках X, Y и Z соответственно, а середины этих сторон – P, Q и R соответственно, то при точке Фейербаха F треугольники FPX, FQY и FRZ подобны треугольникам AOI, BOI, COI соответственно.
The Feuerbach point lies on the line through the centers of the two tangent circles that define it. These centers are the incenter and nine point center of the triangle. or, equivalently, the largest of the three distances equals the sum of the other two. Specifically, we have where O is the reference triangle's circumcenter and I is its incenter. The latter property also holds for the tangency point of any of the excircles with the nine–point circle: the greatest distance from this tangency to one of the original triangle's side midpoints equals the sum of the distances to the other two side midpoints. If the incircle of triangle ABC touches the sides BC, CA, AB at X, Y, and Z respectively, and the midpoints of these sides are respectively P, Q, and R, then with Feuerbach point F the triangles FPX, FQY, and FRZ are similar to the triangles AOI, BOI, COI respectively.