Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үшбұрыштың іштей сызылған шеңбері мен тоғыз нүктелі шеңберінің жанасу нүктесі
Point where the incircle and nine point circle of a triangle are tangent
Үшбұрыштар геометриясында үшбұрыштың іштей сызылған шеңбері мен тоғыз нүктелі шеңбері бір-біріне іштей жанасады, осы жанасу нүктесі үшбұрыштың Фейербах нүктесі деп аталады. Фейербах нүктесі – үшбұрыштың центрі, яғни оның анықтамасы үшбұрыштың орналасуы мен масштабына тәуелді емес. Ол Кларк Кимберлингтің "Үшбұрыштар орталықтарының энциклопедиясында" X(11) ретінде тізімделген және Карл Вильгельм Фейербахтың құрметіне аталған. Фейербахтың 1822 жылы жариялаған теоремасы бойынша, тоғыз нүктелі шеңбер үшбұрыштың үш сырттай сызылған шеңберіне де, іштей сызылған шеңберіне де жанасады. Джон Кейси 1866 жылы бұл теореманың өте қысқа дәлелін жариялады, ол Кейси теоремасын қолданып, бес шеңберге жанасатын төрт шеңбердің екі жанамасы туралы мәлімдейді. Фейербах теоремасы автоматтандырылған теоремаларды дәлелдеудің сынақ тілі ретінде де қолданылған. Сырттай сызылған шеңберлермен жанасудың үш нүктесі берілген үшбұрыштың Фейербах үшбұрышын құрайды.
In the geometry of triangles, the incircle and nine point circle of a triangle are internally tangent to each other at the Feuerbach point of the triangle. The Feuerbach point is a triangle center, meaning that its definition does not depend on the placement and scale of the triangle. It is listed as X(11) in Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers, and is named after Karl Wilhelm Feuerbach. Feuerbach's theorem, published by Feuerbach in 1822, states more generally that the nine point circle is tangent to the three excircles of the triangle as well as its incircle. A very short proof of this theorem based on Casey's theorem on the bitangents of four circles tangent to a fifth circle was published by John Casey in 1866; Feuerbach's theorem has also been used as a test case for automated theorem proving. The three points of tangency with the excircles form the Feuerbach triangle of the given triangle.
Құрылыс
АВС үшбұрышының іштей шеңбері – үшбұрыштың барлық үш қабырғасына жанасатын шеңбер. Оның орталығы, үшбұрыштың іштей ортасы, үшбұрыштың үш ішкі бұрыштарының биссектрисалары қиылысатын нүктеде жатады. Тоғыз нүктелі шеңбер – үшбұрыш арқылы анықталатын тағы бір шеңбер. Ол үшбұрыштың тоғыз маңызды нүктесінен өтеді, олардың ең оңай құрылымы үшбұрыш қабырғаларының орта нүктелері болып табылады. Тоғыз нүктелі шеңбер осы үш орта нүктеден өтеді; демек, ол медианалық үшбұрыштың сырттай шеңбері болып табылады. Бұл екі шеңбер бір нүктеде қиылысады, онда олар бір-біріне жанасады. Ол жанасу нүктесі үшбұрыштың Фейербах нүктесі деп аталады. Үшбұрыштың іштей шеңберімен байланысты тағы үш шеңбер бар, олар экцирклдер. Бұл үшбұрыш қабырғалары арқылы өтетін үш түзуге жанасатын шеңберлер. Әрбір экциркл үшбұрыштың қарсы қабырғасынан осы түзулердің біреуіне жанасады және қалған екі түзу үшін үшбұрыштың бір жағында орналасады. Іштей шеңбер сияқты, экцирклдер де тоғыз нүктелі шеңберге жанасады. Олардың тоғыз нүктелі шеңберге жанасатын нүктелері Фейербах үшбұрышын құрайды.
The incircle of a triangle ABC is a circle that is tangent to all three sides of the triangle. Its center, the incenter of the triangle, lies at the point where the three internal angle bisectors of the triangle cross each other. The nine point circle is another circle defined from a triangle. It is so called because it passes through nine significant points of the triangle, among which the simplest to construct are the midpoints of the triangle's sides. The nine point circle passes through these three midpoints; thus, it is the circumcircle of the medial triangle. These two circles meet in a single point, where they are tangent to each other. That point of tangency is the Feuerbach point of the triangle. Associated with the incircle of a triangle are three more circles, the excircles. These are circles that are each tangent to the three lines through the triangle's sides. Each excircle touches one of these lines from the opposite side of the triangle, and is on the same side as the triangle for the other two lines. Like the incircle, the excircles are all tangent to the nine point circle. Their points of tangency with the nine point circle form a triangle, the Feuerbach triangle.
Қасиеттері
Фейербах нүктесі оны анықтайтын екі жанасу шеңберінің орталықтары арқылы өтетін түзуде жатыр. Бұл орталықтар – үшбұрыштың ішкі центрі және тоғыз нүктелі центрі. Немесе, балама түрінде, үш қашықтықтың ең үлкені қалған екеуінің қосындысына тең. Атап айтқанда, O – анықтама үшбұрышының сырттай ортасы, ал I – оның ішкі центрі. Бұл қасиет тоғыз нүктелі шеңберге жанасатын кез келген сырттай шеңбердің жанасу нүктесі үшін де орындалады: осы жанасу нүктесінен бастапқы үшбұрыштың қабырғаларының орта нүктелерінің біріне дейінгі ең үлкен қашықтық, қалған екі қабырға орта нүктелеріне дейінгі қашықтықтардың қосындысына тең. Егер ABC үшбұрышының ішкі шеңбері BC, CA, AB қабырғаларына сәйкесінше X, Y және Z нүктелерінде жанасса, ал осы қабырғалардың орта нүктелері P, Q және R болса, онда Фейербах нүктесі F үшін FPX, FQY және FRZ үшбұрыштары сәйкесінше AOI, BOI, COI үшбұрыштарына ұқсас болады.
The Feuerbach point lies on the line through the centers of the two tangent circles that define it. These centers are the incenter and nine point center of the triangle. or, equivalently, the largest of the three distances equals the sum of the other two. Specifically, we have where O is the reference triangle's circumcenter and I is its incenter. The latter property also holds for the tangency point of any of the excircles with the nine–point circle: the greatest distance from this tangency to one of the original triangle's side midpoints equals the sum of the distances to the other two side midpoints. If the incircle of triangle ABC touches the sides BC, CA, AB at X, Y, and Z respectively, and the midpoints of these sides are respectively P, Q, and R, then with Feuerbach point F the triangles FPX, FQY, and FRZ are similar to the triangles AOI, BOI, COI respectively.