Введение
В математике, простая геодезическая на гиперболической поверхности — это примитивная замкнутая геодезическая, то есть геодезическая, представляющая собой замкнутую кривую, проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Такие геодезические называются простыми, поскольку, в частности, они подчиняются закону асимптотического распределения, аналогичному теореме о простых числах.
Технические основы
Мы кратко излагаем некоторые факты гиперболической геометрии, которые полезны для понимания простых геодезических.
Гиперболические изометрии
Рассмотрим полуплоскостную модель Пуанкаре H двумерной гиперболической геометрии. Для группы Фукса, то есть дискретной подгруппы Γ группы PSL(2, R), группа Γ действует на H посредством линейно-дробного преобразования. Каждый элемент PSL(2, R) фактически определяет изометрию H, следовательно, Γ является группой изометрий H.
Существует три типа преобразований: гиперболическое, эллиптическое и параболическое. (Локсодромические преобразования отсутствуют, поскольку мы работаем с действительными числами.) Элемент γ из Γ имеет два различных вещественных фиксированных точки тогда и только тогда, когда γ является гиперболическим. Подробности см. в разделах "Классификация изометрий" и "Фиксированные точки изометрий".
Закрытые геодезические системы
Теперь рассмотрим фактор-поверхность M=Γ\H. Следующее описание относится к модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости. Это гиперболическая поверхность, фактически, риманова поверхность. Каждый гиперболический элемент h из Γ определяет замкнутую геодезическую на Γ\H: во-первых, соединяя геодезическую полуокружность, соединяющую неподвижные точки h, мы получаем геодезическую на H, называемую осью h, и проецируя эту геодезическую на M, мы получаем геодезическую на Γ\H. Эта геодезическая замкнута, поскольку 2 точки, находящиеся в одной орбите под действием Γ, по определению проецируются в одну и ту же точку на фактор-пространстве. Можно показать, что это дает взаимно однозначное соответствие между замкнутыми геодезическими на Γ\H и гиперболическими классами сопряженности в Γ. Первичные геодезические – это геодезические, которые обходят свой образ ровно один раз; алгебраически они соответствуют примитивным гиперболическим классам сопряженности, то есть классам сопряженности {γ} таким, что γ нельзя представить как нетривиальную степень другого элемента Γ.
Применение геодезических систем
Важность главных геодезических линий обусловлена их связью с другими областями математики, в особенности с динамическими системами, эргодической теорией и теорией чисел, а также с самими римановыми поверхностями. Эти применения часто пересекаются в различных областях исследований.
Динамические системы и эргодическая теория
В динамических системах замкнутые геодезические соответствуют периодическим орбитам геодезического потока.
Теория чисел
В теории чисел были доказаны различные "теоремы о простых геодезических", которые по духу очень близки к теореме о простых числах. В частности, пусть π(x) обозначает количество замкнутых геодезических, норма которых (функция, связанная с длиной) не превосходит x; тогда π(x) ~ x/ln(x). Обычно этот результат приписывают Атле Селбергу. В своей диссертации 1970 года Григорий Маргулис доказал аналогичный результат для поверхностей переменной отрицательной кривизны, а в диссертации 1980 года Пётр Сарнак доказал аналогию теоремы о плотности Чеботарёва. Существуют и другие сходства с теорией чисел — оценки погрешности уточняются, аналогично тому, как уточняются оценки погрешности теоремы о простых числах. Кроме того, существует дзета-функция Сельберга, которая формально похожа на обычную дзета-функцию Римана и обладает многими её свойствами. Алгебраически, простые геодезические можно "поднимать" на более высокие поверхности так же, как простые идеалы в кольце целых чисел числового поля можно разлагать (факторизовать) в расширении Галуа. Подробнее см. в статьях "Отображение накрытия" и "Разложение простых идеалов в расширениях Галуа".
Теория поверхностей Римана
Закрытые геодезические использовались для изучения поверхностей Римана; фактически, одно из первоначальных определений рода поверхности, данное Риманом, было сформулировано в терминах простых замкнутых кривых. Закрытые геодезические сыграли важную роль в изучении собственных значений операторов Лапласа, арифметических групп Фукса и пространств Тейхмюллера.