Интервалы действительных чисел и обобщения

Введение

Все числа между двумя заданными числами: интервалы действительных чисел и некоторые обобщения

В математике (действительный) интервал – это множество всех действительных чисел, лежащих между двумя фиксированными конечными точками без "разрывов". Каждая конечная точка может быть либо действительным числом, либо положительной или отрицательной бесконечностью, указывая на то, что интервал простирается без ограничений. Интервал может не содержать ни одной из конечных точек, содержать одну из них или обе. Например, множество действительных чисел, состоящее из 0, 1 и всех чисел между ними, является интервалом, обозначаемым [0, 1] и называемым единичным интервалом; множество всех положительных действительных чисел является интервалом, обозначаемым (0, ∞); множество всех действительных чисел является интервалом, обозначаемым (−∞, ∞); и любое отдельное действительное число a является интервалом, обозначаемым [a, a]. Интервалы широко используются в математическом анализе. Например, они неявно присутствуют в ε-δ определении непрерывности; теорема о промежуточном значении утверждает, что образ интервала при непрерывном отображении является интервалом; интегралы от действительных функций определяются на интервале и так далее. Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной оценки результата численного вычисления, даже при наличии неопределенности входных данных и ошибок округления. Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа. Обозначение интервалов целых чисел рассматривается в специальном разделе ниже.

Определения и терминология

Интервал — это подмножество действительных чисел, содержащее все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами этого подмножества. Конечными точками интервала являются его супремум и инфимум, если они существуют как действительные числа. Если инфимум не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка равна −∞. Аналогично, если супремум не существует, говорят, что соответствующая конечная точка равна +∞. Интервалы полностью определяются своими конечными точками и тем, принадлежат ли эти конечные точки интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для определения интервалов с помощью обозначений, описанных ниже. Открытый интервал не включает в себя ни одну из конечных точек и обозначается круглыми скобками. Например, (0, 1) — это интервал, состоящий из всех действительных чисел, больших 0 и меньших 1. (Этот интервал также может быть обозначен как ]0, 1[, см. ниже). Открытый интервал (0, +∞) состоит из действительных чисел, больших 0, то есть положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы имеют один из видов (a, b), где a и b — действительные числа, причем a < b. Если a = b, то полученный интервал является пустым множеством ∅, которое является вырожденным интервалом (см. ниже). Открытые интервалы — это интервалы, являющиеся открытыми множествами в стандартной топологии на действительных числах. Закрытый интервал — это интервал, включающий все свои конечные точки и обозначается квадратными скобками. Например, [0, 1] означает числа, большие 0 и меньшие или равные 1, а [0, 1) означает числа, большие или равные 0 и меньшие 1. Полуоткрытые интервалы имеют вид (a, b] или [a, b). Каждый закрытый интервал является замкнутым множеством на действительной прямой, но интервал, являющийся замкнутым множеством, не обязательно должен быть закрытым интервалом. Например, интервалы [0, 1] и [0, +∞) также являются замкнутыми множествами на действительной прямой. Интервалы (0, 1) и [0, 1) не являются ни открытыми, ни замкнутыми множествами. Если допустить, чтобы конечная точка в замкнутой стороне была бесконечностью (например, [0, +∞)), результат не будет интервалом, поскольку это даже не подмножество действительных чисел. Вместо этого результат можно рассматривать как интервал в расширенной действительной прямой, который встречается, например, в теории меры. Вкратце, множество действительных чисел является интервалом, если и только если это открытый интервал, закрытый интервал или полуоткрытый интервал. Вырожденный интервал — это любое множество, состоящее из одного действительного числа (то есть интервал вида {a}). Некоторые авторы включают пустое множество в это определение. Реальный интервал, который не пуст и не вырожден, называется собственным и имеет бесконечно много элементов. Интервал называется левоограниченным или правоограниченным, если существует некоторое действительное число, которое, соответственно, меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным, если он ограничен как слева, так и справа, и неограниченным в противном случае. Интервалы, ограниченные только одним концом, называются полуограниченными. Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел — единственный интервал, который неограничен с обоих концов. Ограниченные интервалы также известны как конечные интервалы. Ограниченные интервалы являются ограниченными множествами в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разнице между конечными точками) конечен. Диаметр может называться длиной, шириной, мерой, диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как +∞, а размер пустого интервала может быть определен как 0 (или оставлен неопределенным). Центр (средняя точка) ограниченного интервала с конечными точками a и b равен (a + b) / 2, а его радиус равен половине длины. Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов. Интервал считается слева открытым, если и только если он не содержит минимума (элемента, который меньше всех остальных элементов); справа открытым, если он не содержит максимума; и открытым, если он не содержит ни того, ни другого. Например, интервал (0, 1] слева открыт и справа замкнут. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и замкнутыми интервалами, в то время как множество неотрицательных действительных чисел [0, +∞) — это замкнутый интервал, который справа открыт, но не слева открыт. Открытые интервалы являются открытыми множествами на действительной прямой в ее стандартной топологии и образуют базу открытых множеств. Интервал считается слева замкнутым, если он имеет минимальный элемент или слева неограничен; справа замкнутым, если он имеет максимальный элемент или справа неограничен; он просто замкнут, если он одновременно слева замкнут и справа замкнут. Таким образом, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии. Внутренность интервала I — это наибольший открытый интервал, содержащийся в I; это также множество точек в I, которые не являются конечными точками I. Замыкание I — это наименьший замкнутый интервал, содержащий I; это также множество I, дополненное его конечными точками. Для любого множества X действительных чисел оболочка интервалом или интервальный пролет X — это единственный интервал, содержащий X и не содержащийся строго ни в каком другом интервале, который также содержит X. Интервал I является подинтервалом интервала J, если I является подмножеством J. Интервал I является собственным подинтервалом J, если I является собственным подмножеством J. Однако в литературе существует противоречивая терминология для терминов «сегмент» и «интервал», которые использовались в литературе в двух по существу противоположных направлениях, что приводит к неоднозначности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики определяет интервал (без уточнения) как исключающий обе конечные точки (то есть открытый интервал) и сегмент как включающий обе конечные точки (то есть замкнутый интервал), в то время как «Принципы математического анализа» Рудина называет множества вида [a, b] интервалами, а множества вида (a, b) — сегментами на протяжении всей книги. Эти термины, как правило, встречаются в более старых работах; в современных текстах все чаще используется термин «интервал» (с уточнением: открытый, замкнутый или полуоткрытый), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между a и b, включая a и b, часто обозначается. Два числа, ограничивающие интервал, называются его концами. В странах, где числа записываются с десятичной запятой, для избежания неоднозначности в качестве разделителя может использоваться точка с запятой.

Включая или исключая конечные точки

Чтобы указать, что одна из конечных точек должна быть исключена из множества, соответствующая квадратная скобка может быть либо заменена на круглую, либо перевёрнута. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11. Таким образом, в нотации построения множеств, каждый интервал , , и представляет собой пустое множество, в то время как обозначает одиночное множество. Когда a > b, все четыре обозначения обычно интерпретируются как пустое множество. Оба обозначения могут совпадать с другими применениями круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение (a, b) часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки или вектора в аналитической геометрии и линейной алгебре, или (иногда) комплексного числа в алгебре. Именно поэтому Бурбаки ввёл обозначение ]a, b[ для обозначения открытого интервала. Обозначение [a, b] также иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике. Некоторые авторы, такие как Ив Тилье, используют ]a, b[ для обозначения дополнения интервала, то есть множества всех действительных чисел, которые либо меньше или равны a, либо больше или равны b.

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел, то есть множество всех действительных чисел, дополненное −∞ и +∞. В этой интерпретации обозначения  ,  ,   и   все имеют смысл и различны. В частности,   обозначает множество всех обычных действительных чисел, а   – расширенные действительные числа. Даже в контексте обычных действительных чисел можно использовать бесконечную конечную точку для обозначения отсутствия границы в данном направлении. Например,   – это множество положительных действительных чисел, которое также записывается как  . Контекст влияет на некоторые из вышеуказанных определений и терминологию. Например, интервал  =  является замкнутым в области обычных действительных чисел, но не является замкнутым в области расширенных действительных чисел.

Интервалы целых чисел

Когда a и b – целые числа, обозначение ⟦a, b⟧, или , или просто a b, иногда используется для обозначения интервала, содержащего все целые числа от a до b включительно. Эта нотация используется в некоторых языках программирования; например, в Паскале она применяется для формального определения типа поддиапазона, который чаще всего используется для указания нижних и верхних границ допустимых индексов массива. Другой способ интерпретации целочисленных интервалов – как множества, заданные перечислением с использованием многоточия. Целочисленный интервал с конечной нижней или верхней границей всегда включает эту границу. Следовательно, исключение границ можно явно указать, записав a b − 1, a + 1 b или a + 1 b − 1. Альтернативные варианты обозначения скобками, такие как или [a b[, редко используются для целочисленных интервалов.

Шары

Открытый конечный интервал — это 1-мерный открытый шар с центром в и радиусом . Закрытый конечный интервал — это соответствующий закрытый шар, а две конечные точки интервала образуют 0-мерную сферу. Обобщая для -мерного евклидова пространства, шар — это множество точек, расстояние от которых до центра меньше радиуса. В двухмерном случае шар называется диском. Если полупространство рассматривать как своего рода вырожденный шар (без чётко определённого центра или радиуса), то полупространство можно считать аналогичным полуограниченному интервалу, а его граничная плоскость — (вырожденной) сферой, соответствующей конечному концу интервала.

Многомерные интервалы

Конечный интервал — это (внутренность) 1-мерного гиперпрямоугольника. Обобщенный на реальное координатное пространство, гиперпрямоугольник (или коробка), ориентированный по осям координат, является декартовым произведением конечных интервалов. В одномерном случае это прямоугольник, в трехмерном — прямоугольный параллелепипед (также называемый "коробкой"). Допуская сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любых интервалов иногда называют n-мерным интервалом. Гра́нь такого интервала получается заменой любого невырожденного интервального множителя на вырожденный интервал, состоящий из конечной точки. Грани интервала включают в себя сам интервал и все грани его граней. Вершины интервала — это грани, состоящие из одной точки.

Выпуклые политопы

Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуоткрытых интервалов (при этом пустое пересечение понимается как вся вещественная прямая), а пересечение любого числа полуоткрытых интервалов является (возможно, пустым) интервалом. Обобщая на n-мерное аффинное пространство, пересечение полупространств (с произвольной ориентацией) является (внутренностью) выпуклого многогранника, а в двумерном случае – выпуклым многоугольником.

Домены

Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщая на топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется областью.

Комплексные интервалы

Интервалы комплексных чисел могут быть определены как области на комплексной плоскости, прямоугольной или круглой формы.