Введение
Закрытый интервал [0,1] на прямой действительных чисел, интервал сигнализации при передаче данных. В математике единичный интервал — это закрытый интервал [0, 1], то есть множество всех действительных чисел, больших или равных 0 и меньших или равных 1. Его часто обозначают I (заглавной буквой). Помимо своей роли в математическом анализе, единичный интервал используется для изучения теории гомотопии в области топологии. В литературе термин "единичный интервал" иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: [0, 1), (0, 1], и (0, 1). Однако обозначение I чаще всего зарезервировано для закрытого интервала [0, 1].
the data transmission signaling interval
In mathematics, the unit interval is the closed interval , that is, the set of all real numbers that are greater than or equal to 0 and less than or equal to 1. It is often denoted I (capital letter ). In addition to its role in real analysis, the unit interval is used to study homotopy theory in the field of topology. In the literature, the term "unit interval" is sometimes applied to the other shapes that an interval from 0 to 1 could take: , , and However, the notation I is most commonly reserved for the closed interval .
Свойства
Единичный интервал — это полное метрическое пространство, гомеоморфное расширенной числовой прямой. Как топологическое пространство, он компактен, стягиваем, путь-связен и локально путь-связен. Куб Гильберта получается как топологическое произведение счётного числа копий единичного интервала. В математическом анализе единичный интервал — это одномерное аналитическое многообразие, граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация направлена от 0 к 1. Единичный интервал является вполне упорядоченным множеством и полной решёткой (каждое подмножество единичного интервала имеет супремум и инфимум).
Кардинальность
Размер или кардинальность множества — это число элементов, которые оно содержит. Единичный интервал является подмножеством действительных чисел, однако он имеет ту же кардинальность, что и всё множество: кардинальность континуума. Поскольку действительные числа можно использовать для представления точек на бесконечно длинной прямой, это означает, что отрезок прямой длиной 1, являющийся частью этой прямой, содержит столько же точек, сколько и вся прямая. Более того, он содержит столько же точек, сколько квадрат площадью 1, куб объёмом 1 и даже неограниченное n-мерное евклидово пространство (см. Кривая, заполняющая пространство). Число элементов (действительных чисел или точек) во всех вышеупомянутых множествах несчётно, поскольку оно строго больше числа натуральных чисел.
Ориентация
Единичный интервал является кривой. Открытый интервал (0,1) является подмножеством положительных вещественных чисел и наследует от них ориентацию. Ориентация меняется на противоположную при входе в интервал со стороны 1, например, в интеграле, используемом для определения натурального логарифма для x в этом интервале, что приводит к отрицательным значениям логарифма для таких x. Фактически, этот интеграл вычисляется как интегральная площадь со знаком, дающая отрицательную площадь на единичном интервале из-за изменения ориентации.
Обобщения
Интервал, имеющий длину два и ограниченный положительной и отрицательной единицами, часто встречается, например, в области определения тригонометрических функций синуса и косинуса, а также гиперболической функции tanh. Этот интервал может использоваться в качестве области определения обратных функций. Например, если функция ограничена областью , то она принимает значения в этом интервале, и там определен арксинус. Иногда термин "единичный интервал" используется для обозначения объектов, играющих роль в различных областях математики, аналогичную роли, которую играет в теории гомотопии. Например, в теории кивер (quivers) (аналогом) единичного интервала является граф, множество вершин которого состоит из двух элементов, и содержащий одно ребро e, началом которого является 0, а концом – 1. Затем можно определить понятие гомотопии между гомоморфизмами киверов, аналогичное понятию гомотопии между непрерывными отображениями.
Нечеткая логика
В логике, единичный интервал может быть интерпретирован как обобщение булевой области {0,1}, в этом случае, вместо того чтобы принимать только значения 0 или 1, может быть принято любое значение между 0 и 1 включительно. Алгебраически, отрицание (НЕ) заменяется на 1 − x; конъюнкция (И) заменяется умножением (xy); а дизъюнкция (ИЛИ) определяется, согласно законам Де Моргана, как 1 − (1 − x)(1 − y). Интерпретация этих значений как логических значений истинности приводит к многозначной логике, которая является основой для нечёткой логики и вероятностной логики. В этих интерпретациях значение интерпретируется как "степень" истинности – в какой степени предложение истинно, или вероятность того, что предложение истинно.