Введение

Математическое понятие

В математике, область определения функции — это множество допустимых значений аргумента функции. Она иногда обозначается как D(f) или dom(f), где f — функция. Проще говоря, область определения функции можно понимать как "каким может быть x". Более точно, для функции f область определения f — это X. В современной математической терминологии область определения является частью определения функции, а не её свойством. В частном случае, когда X и Y — множества вещественных чисел, функцию f можно представить графически в декартовой системе координат. В этом случае область определения отображается на оси x графика как проекция графика функции на ось x. Для функции f множество Y называется областью значений (кодоменом): множеством, которому должны принадлежать все значения функции. Множество конкретных значений, которые функция сопоставляет элементам X, называется областью значений функции или её образом. Образ f является подмножеством Y, показанным в виде жёлтого овала на прилагаемой схеме. Любую функцию можно ограничить подмножеством её области определения. Ограничение f на множество A, где A ⊆ X, записывается как f|A.

Природный домен

Если реальная функция f задана формулой, она может быть не определена для некоторых значений переменной. В этом случае это частичная функция, а множество действительных чисел, на которых формула может быть вычислена в действительное число, называется естественной областью определения или областью определения f. Во многих контекстах частичная функция называется просто функцией, а её естественная область определения – просто областью определения.

Примеры

Функция, заданная формулой , не может быть вычислена в точке 0. Следовательно, естественной областью определения функции является множество всех действительных чисел, исключая 0, которое можно обозначить как или . Построенная по частям функция, заданная формулой , имеет в качестве естественной области определения множество всех действительных чисел. Функция квадратного корня, заданная формулой , имеет в качестве естественной области определения множество неотрицательных действительных чисел, которое можно обозначить как , интервал , или . Тангенциальная функция, обозначаемая , имеет в качестве естественной области определения множество всех действительных чисел, которые не имеют вида , где – целое число, что можно записать как .

Другие применения

Термин "домен" также обычно используется в другом смысле в математическом анализе: домен – это непустое связное открытое множество в топологическом пространстве. В частности, в вещественном и комплексном анализе, домен – это непустое связное открытое подмножество вещественного координатного пространства или комплексного координатного пространства. Иногда такой домен используется в качестве области определения функции, хотя функции могут быть определены на более общих множествах. Эти два понятия иногда смешиваются, например, при изучении уравнений в частных производных: в этом случае домен – это связное открытое подмножество, в котором сформулирована задача, что делает его одновременно доменом в смысле математического анализа и областью определения искомой функции (или функций).

Теоретические понятия

Например, в теории множеств иногда бывает удобно допускать, чтобы областью определения функции был собственный класс X, в этом случае формально не существует тройки (X, Y, G). При таком определении функции не имеют области определения, хотя некоторые авторы все равно используют этот термин неофициально после определения функции в виде f: X → Y.