Введение

Математическая функция, сохраняющая углы

В математике конформное отображение — это функция, локально сохраняющая углы, но не обязательно длины. Более формально, пусть и — открытые подмножества. Функция называется конформной (или углосохраняющей) в точке , если она сохраняет углы между направленными кривыми, проходящими через , а также сохраняет ориентацию. Конформные отображения сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну. Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы якобиана координатного преобразования. Преобразование является конформным, когда якобиан в каждой точке представляет собой положительную скалярную величину, умноженную на матрицу вращения (ортогональную с детерминантом, равным единице). Некоторые авторы определяют конформность как включающую в себя отображения, меняющие ориентацию, чьи якобианы могут быть записаны как любой скаляр, умноженный на любую ортогональную матрицу. Для отображений в двух измерениях (сохраняющие ориентацию) конформные отображения являются именно локально обратимыми комплексными аналитическими функциями. В трех и более измерениях теорема Лиувиля существенно ограничивает конформные отображения несколькими типами. Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями.

В двух измерениях

Если является открытым подмножеством комплексной плоскости , то функция является конформной тогда и только тогда, когда она голоморфна и ее производная везде отлична от нуля на . Если антиголоморфна (является комплексно сопряженной к голоморфной функции), она сохраняет углы, но меняет их ориентацию. В литературе существует другое определение конформности: отображение , которое является взаимно однозначным и голоморфным на открытом множестве в плоскости. Теорема об открытом отображении гарантирует, что обратная функция (определенная на образе ) является голоморфной. Таким образом, согласно этому определению, отображение является конформным тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимно однозначность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Фактически, у нас есть следующее соотношение, теорема об обратной функции:

где . Однако, экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не является взаимно однозначной, поскольку она периодична. Теорема Римана о отображениях, один из фундаментальных результатов комплексного анализа, утверждает, что любое непустое открытое связное собственное подмножество допускает биективное конформное отображение на открытый единичный диск в . Неформально это означает, что любую область можно преобразовать в идеальный круг некоторым конформным отображением.

Глобальные конформные карты на сфере Римана

Карта сферы Римана на себя является конформной тогда и только тогда, когда это преобразование Мёбиуса. Комплексное сопряжение преобразования Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсии относительно окружности.

Соответствие по отношению к трем типам углов

В планиметрии существует три типа углов, которые могут сохраняться при конформном отображении. Каждый из них связан со своей собственной вещественной алгеброй: обычными комплексными числами, расщеплёнными комплексными числами и дуальными числами. Конформные отображения в каждом случае описываются линейно-дробными преобразованиями.

Риманновская геометрия

В римановой геометрии две римановы метрики и на гладком многообразии называются конформно эквивалентными, если для некоторой положительной функции на существует равенство . Функция называется конформным фактором. Диффеоморфизм между двумя римановыми многообразиями называется конформным отображением, если перенесенная метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция сферы на плоскость, дополненную точкой в бесконечности, является конформным отображением. Также можно определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик.

Евклидово пространство

Классическая теорема Джозефа Лиувиля показывает, что конформных отображений в пространствах более высокой размерности значительно меньше, чем в двумерных. Любое конформное отображение из открытого подмножества евклидова пространства в то же евклидово пространство размерности три или выше может быть представлено композицией трех типов преобразований: гомотетии, изометрии и специального конформного преобразования. Для линейных преобразований конформное отображение может состоять только из гомотетии и изометрии и называется конформным линейным преобразованием.

Картография

В картографии ряд именованных картографических проекций, включая проекцию Меркатора и стереографическую проекцию, являются конформными. Сохранение направлений компаса делает их полезными в морской навигации.

Физика и инженерия

Конформные отображения незаменимы для решения задач в инженерии и физике, которые могут быть выражены в терминах функций комплексной переменной, но при этом имеют неудобную геометрию. Выбирая подходящее отображение, аналитик может преобразовать неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно вычислить электрическое поле, , возникающее от точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где – комплексная координата точки в двумерном пространстве). Эта задача сама по себе достаточно сложна для решения в аналитическом виде. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол отображается в угол, равный ровно радианам, что означает, что угол между двумя плоскостями преобразуется в прямую линию. В этой новой области задача (вычисление электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным вблизи проводящей стенки) становится достаточно простой. Решение находится в этой области, , а затем отображается обратно в исходную область, учитывая, что было получено как функция (а именно, композиция и ) от , следовательно, можно рассматривать как , являющуюся функцией , исходной координатной системы. Следует отметить, что это применение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, поскольку они делают это только для точек внутри своей области определения, а не на границе. Другой пример – применение метода конформного отображения для решения краевой задачи о колебаниях жидкости в резервуарах. Если функция гармонична (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа) в плоской области (которая является двумерной) и преобразуется посредством конформного отображения в другую плоскую область, то преобразование также будет гармоничным. По этой причине любую функцию, определяемую потенциалом, можно преобразовать с помощью конформного отображения, и она по-прежнему будет описываться потенциалом. Примеры уравнений, определяемых потенциалом, в физике включают электромагнитное поле, гравитационное поле и, в гидродинамике, потенциальный поток, который является приближением к течению жидкости при постоянной плотности, нулевой вязкости и отсутствии вихрей. Одним из примеров применения конформного отображения в гидродинамике является преобразование Жуковского, которое можно использовать для изучения картины течения вокруг профиля Жуковского. Конформные отображения также полезны при решении нелинейных частных дифференциальных уравнений в определенных геометриях. Такие аналитические решения служат полезной проверкой точности численного моделирования управляющего уравнения. Например, в случае высоковязкого свободного поверхностного течения вокруг полубесконечной стенки область можно отобразить на полуплоскость, в которой решение одномерно и легко вычисляется. Для дискретных систем Нури и Ян предложили способ преобразования корневого локуса дискретных систем в непрерывный корневой локус с помощью известного конформного отображения в геометрии (также известного как инверсионное преобразование).

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла сохраняются преобразованиями Лоренца, которые образуют группу, включающую круговые и гиперболические вращения. Последние иногда называют бустами Лоренца, чтобы отличать их от круговых вращений. Все эти преобразования конформны, поскольку гиперболические вращения сохраняют гиперболический угол (называемый быстротой), а другие вращения сохраняют круговой угол. Введение трансляций в группе Пуанкаре также сохраняет углы. Более широкую группу конформных преобразований для установления связи между решениями уравнений Максвелла выявили Эбенезер Каннингэм (1908) и Гарри Бейтман (1910). Их обучение в Кембриджском университете дало им мастерство в использовании метода изображенных зарядов и связанных с ним методов изображений для сфер и инверсии. Как рассказывает Эндрю Уорвик (2003) в книге «Мастера теории»: каждое четырехмерное решение можно инвертировать относительно четырехмерной гиперсферы с псевдорадиусом, чтобы получить новое решение. Уорвик подчеркивает эту «новую теорему относительности» как кембриджский ответ на теорию Эйнштейна и как основанную на упражнениях с использованием метода инверсии, подобных тем, что встречаются в учебнике Джеймса Хопвуда Джинса «Математическая теория электричества и магнетизма».

Общая теория относительности

В общей теории относительности конформные преобразования являются простейшим и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают различные вселенные, в которых все те же события и взаимодействия остаются (причинно) возможными, но для этого требуется новая дополнительная сила (то есть, воспроизведение всех тех же траекторий потребовало бы отклонений от геодезического движения, поскольку метрический тензор иной). Они часто используются в попытках построить модели, допускающие расширение за пределы сингулярностей кривизны, например, для описания Вселенной даже до Большого взрыва.