Кіріспе

Бұрыштарын сақтайтын математикалық функция. Математикада конформальды бейнелеу – бұрыштарын жергілікті түрде сақтайтын, бірақ міндетті түрде ұзындықтарын сақтамайтын функция. Формальды түрде, және – A ашық жиындары болсын. Егер функция нүктесінде бағытталған қисықтар арасындағы бұрыштарды, сондай-ақ бағдарды сақтаса, онда ол конформальды (немесе бұрыштарды сақтаушы) деп аталады. Конформальды бейнелеулер бұрыштарды да, шексіз кішкентай фигуралардың пішіндерін де сақтайды, бірақ олардың мөлшері мен қисықтығы міндетті емес. Конформальды қасиет координаттық түрлендірудің Якобиан матрицасы арқылы сипатталуы мүмкін. Түрлендіру конформальды болады, егер әрбір нүктедегі Якобиан оң скалярға көбейтілген айналу матрицасы (детерминанты бірге тең ортогональды матрица) болса. Кейбір авторлар конформальдылықты бағдарды өзгертетін бейнелеулерді де қамту үшін анықтайды, олардың Якобиандарын кез келген скалярға көбейтілген кез келген ортогональды матрица ретінде жазуға болады. Екі өлшемдегі бейнелеулер үшін (бағдарды сақтаушы) конформальды бейнелеулер – жергілікті түрде инвертируемый комплекс аналитикалық функциялар болып табылады. Үш және одан жоғары өлшемдерде Лиувилль теоремасы конформальды бейнелеулерді бірнеше типке дейін шектейді. Конформальды ұғымы Риман немесе жартылай Риман көптүрліліктері арасындағы бейнелеулерге табиғи түрде жалпыланады.

Екі өлшемде

Егер – күрделі жазықтықтың ашық ішкі жиыны болса, онда функция конформальды болады, егер және тек қана ол голоморфты болса және оның туындысы барлық жерде нөлден өзгеше болса. Егер ол антиголоморфты болса (голоморфты функцияға конъюгат), онда ол бұрыштарды сақтайды, бірақ олардың бағытын өзгертеді. Әдебиетте конформальдықтың тағы бір анықтамасы бар: жазықтықтағы ашық жиынтықта бір-бірге сәйкес келіп, голоморфты болатын бейнелеу. Ашық бейнелеу теоремасы кері функцияны (бейнесі бойынша анықталған) голоморфты болуға мәжбүрлейді. Осылайша, осы анықтама бойынша бейнелеу конформальды болады, егер және тек қана ол биголоморфты болса. Конформальды бейнелеулердің екі анықтамасы эквивалентті емес. Бір-бірге сәйкес келу және голоморфты болу нөлден өзгеше туындыға ие болуды білдіреді. Шындығында, бізде келесі қатынас бар, кері функция теоремасы: мұнда. Дегенмен, экспоненциалдық функция – нөлден өзгеше туындысы бар голоморфты функция, бірақ ол бір-бірге сәйкес емес, себебі ол периодты. Риманның бейнелеу теоремасы, күрделі анализдің маңызды нәтижелерінің бірі, кез келген бос емес ашық, жай ғана байланысқан дұрыс ішкі жиынтық ашық бірлік дискіге биективті конформальды бейнелеуге ие болады деп мәлімдейді. Формальды түрде айтқанда, кез келген «жабық» аймақты конформальды бейнелеу арқылы нақты шеңберге түрлендіруге болады.

Риман сферасындағы жаһандық конформальды карталар

Риман сферасының өзіне проекциясы конформды болады, егер және тек қана ол Мёбиус түрлендіруі болса. Мёбиус түрлендіруінің кешендік қосымшасы бұрыштарды сақтайды, бірақ бағытын өзгертеді. Мысалы, шеңбер инверсиясы.

Бұрыштардың үш түріне сәйкестік

Жазық геометрияда конформальды бейнелеуде сақталуы мүмкін үш түрлі бұрыш бар. Олардың әрқайсысы өзінің нақты алгебрасымен – кәдімгі кешенді сандармен, бөлінген кешенді сандармен және дуалды сандармен байланысты. Конформальды бейнелеулер әр жағдайда сызықтық бөлшек түрлендірулермен сипатталады.

Риман геометриясы

Риман геометриясында, егер бір тегіс көптік үстіндегі екі Риман метрикасы және оң функциясы үшін орындалса, олар конформдық эквивалентті деп аталады. Бұл функция конформдық коэффициент деп аталады. Егер кері тартылған метрика бастапқы метрикаға конформдық эквивалентті болса, екі Риман көптүрлілігі арасындағы диффеоморфизм конформдық бейнелеу деп аталады. Мысалы, шексіз нүктесі қосылған жазықтыққа шардың стереографиялық проекциясы конформдық бейнелеу болып табылады. Сондай-ақ, конформдық құрылымды тегіс көптік үстіндегі конформдық эквивалентті Риман метрикаларының класы ретінде анықтауға болады.

Евклид кеңістігі

Жозеф Лиувиллдің классикалық теоремасы жоғары өлшемдерде екі өлшемге қарағанда конформды бейнелеулердің анағұрлым аз екенін көрсетеді. Еуклид кеңістігінің ашық ішкі жиынынан үш немесе одан жоғары өлшемді сол Еуклид кеңістігіне кез келген конформды бейнелеуді үш түрлі түрлендірулерден құрастыруға болады: гомотетия, изометрия және арнайы конформды түрлендіру. Сызықтық түрлендірулер үшін конформды бейнелеу тек гомотетия мен изометриядан ғана құралуы мүмкін және конформды сызықтық түрлендіру деп аталады.

Картографиялық

Картографияда, Меркатор проекциясы және стереографиялық проекция сияқты бірнеше аталатын карта проекциялары конформды болып табылады. Компас бағыттарын сақтауы оларды теңіз навигациясында пайдалы етеді.

Физика және инженерлік

Конформальды бейнелеулер инженерлік және физикалық мәселелерді шешу үшін құнды, оларды күрделі айнымалының функциялары түрінде беруге болады, бірақ олар ыңғайсыз геометрияны көрсетеді. Тиісті бейнелеуді таңдау арқылы талдаушы ыңғайсыз геометрияны әлдеқайда ыңғайлырақ геометрияға түрлендіре алады. Мысалы, белгілі бір бұрышпен бөлінген екі өткізгіш жазықтықтың бұрышында орналасқан нүктелік зарядтан туындайтын электр өрісін есептегісі келеді, мұнда 2 кеңістіктегі нүктенің күрделі координатасы болып табылады. Бұл мәселені жабық түрде шешу өте қиын. Дегенмен, өте қарапайым конформальды бейнелеуді қолдану арқылы ыңғайсыз бұрыш дәл π радианға бейнеленеді, яғни екі жазықтықтың бұрышы тура сызыққа айналады. Бұл жаңа доменде мәселені (жетекті қабырғаға жақын орналасқан нүктелік зарядтың тудырған электр өрісін есептеу) шешу өте оңай. Шешім осы доменде алынады, , содан кейін бастапқы доменге қайтарылады, себебі функциясы ретінде алынған (яғни, және құрамы), сондықтан бастапқы координаталық негіздің функциясы ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл қолданыс конформальды бейнелеулер бұрыштарды сақтайды деген фактіге қайшы келмейді, олар мұны тек өздерінің доменінің ішкі бөлігіндегі нүктелер үшін ғана жасайды, шекарада емес. Тағы бір мысал – сұйық резервуарларындағы сұйықтықтың құбылуының шекті мәнін шешу үшін конформальды бейнелеу техникасын қолдану. Егер функция гармоникалық болса (яғни Лаплас теңдеуін қанағаттандырады) жазық доменде (екі өлшемді), және конформальды бейнелеу арқылы басқа жазық доменге түрлендірілсе, түрлендіру де гармоникалық болады. Осы себепті, потенциалмен анықталатын кез келген функция конформальды бейнелеу арқылы түрлендірілуі мүмкін және әлі де потенциалмен басқарылады. Физикадағы потенциалмен анықталатын теңдеулердің мысалдары электромагниттік өріс, гравитациялық өріс және сұйық динамикасындағы потенциалдық ағын, бұл тұрақты тығыздық, нөлдік тұтқырлық және айналмалы емес ағын болжамдалады. Конформальды бейнелеудің сұйық динамикалық қолданысының бір мысалы – Джоуковский бейнелеуі, оны Джоуковский қанаттың айналасындағы ағын өрісін зерттеу үшін пайдалануға болады. Конформальды бейнелеулер кейбір геометриялардағы сызықтық емес бөлшекті дифференциалдық теңдеулерді шешуде де құнды. Мұндай талдау шешімдері басқару теңдеуінің сандық симуляцияларының дәлдігін тексеруге көмектеседі. Мысалы, жартылай шексіз қабырғаның айналасындағы өте тұтқыр еркін беттік ағын жағдайында доменді шешім бір өлшемді және есептеуге оңай жартылай жазықтыққа бейнелеуге болады. Дискретті жүйелер үшін Нури және Янг геометриядағы белгілі конформальды бейнелеу (инверсиялық бейнелеу сияқты) арқылы дискретті жүйелердің түбірлік локусын үздіксіз түбірлік локусына түрлендірудің жолын ұсынды.

Максвелл теңдеулері

Максвелл теңдеулері Лоренц түрлендірулерімен сақталады, олар шеңберлік және гиперболалық айналымдарды қамтитын топты құрайды. Соңғылары кейде Лоренц күшейткіштері деп аталады, оларды шеңберлік айналудан ажырату үшін. Бұл түрлендірулердің барлығы конформалды, себебі гиперболалық айналу гиперболалық бұрышты (рапидтік деп аталады) сақтайды, ал басқа айналулар шеңберлік бұрышты сақтайды. Пуанкаре тобында аудармалардың енгізілуі бұрыштарды сақтайды. Максвелл теңдеулерінің шешімдерін байланыстыратын конформальды бейнелеулердің кеңірек тобын Эбенезер Каннингэм (1908) және Гарри Бейтмен (1910) анықтады. Кембридж университетінде алған білімі оларға суреттеме зарядтар әдісімен және сфералар мен инверсия үшін суреттерді қолдану әдістерімен жұмыс істеуге мүмкіндік берді. Эндрю Уорвик (2003) «Теория шеберлері» еңбегінде былай баяндайды:

Кез келген төрт өлшемді шешімді жаңа шешім алу үшін псевдо радиусы бар төрт өлшемді гиперсферада инверсиялауға болады. Уорвик бұл «жаңа салыстырмалылық теоремасын» Эйнштейнге Кембриджтің жауабы ретінде, және Джеймс Хопвуд Джинстің «Электр және магнетизмнің математикалық теориясы» оқулығында кездесетін инверсия әдісін қолдана отырып жасалған жаттығуларға негізделгенін атап көрсетеді.

Жалпы салыстырмалылық теориясы

Жалпы салыстырмалылық теориясында конформальды бейнелеулер – ең қарапайым және де сондықтан себептік түрлендірулердің ең көп кездесетін түрі. Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл – барлық оқиғалар мен өзара әрекеттесулердің (себептік байланыс бойынша) бұрынғысынша мүмкін болатын, бірақ оны іске асыру үшін қосымша күш қажет болатын әртүрлі ғаламдарды сипаттайды (яғни, барлық бірдей траекторияларды қайталау үшін метрикалық тензор өзгеше болғандықтан, геодезиялық қозғалыстан ауытқулар қажет болады). Ол көбінесе қисықтық сингулярлықтарынан тысқары кеңейтуге ыңғайлы модельдер құруға талпыну үшін қолданылады, мысалы, ғаламды Ұлы жарылыстан бұрын да сипаттауға мүмкіндік беру үшін.