Введение
Арифметическая процедура проверки операций с использованием модульных характеристик цифры 9. Метод "выбрасывания девяток" – это любая из трех арифметических процедур: сложение десятичных цифр положительного целого числа, с возможностью игнорирования любых цифр 9 или цифр, сумма которых кратна 9. Результат этой процедуры – число, которое меньше исходного, если исходное число содержит более одной цифры, дает тот же остаток, что и исходное число при делении на девять, и может быть получено из исходного числа путем вычитания кратного 9. Название процедуры происходит от этого последнего свойства. Процедура повторяется для результатов, полученных на предыдущих шагах, до тех пор, пока не будет получено однозначное число. Это однозначное число называется "цифровым корнем" исходного числа. Если число делится на 9, его цифровой корень равен 9. В противном случае, его цифровой корень – это остаток от деления на 9. Это проверка на правдоподобность, в которой вышеупомянутые процедуры используются для выявления ошибок в арифметических вычислениях. Проверка выполняется путем применения той же последовательности арифметических операций к цифровым корням операндов, что и к самим операндам. Если в вычислениях не допущено ошибок, цифровые корни двух результатов будут одинаковыми. Если они различаются, значит, в вычислениях была допущена одна или несколько ошибок.
Casting out nines is any of three arithmetical procedures:
Adding the decimal digits of a positive whole number, while optionally ignoring any 9s or digits which sum to a multiple of 9. The result of this procedure is a number which is smaller than the original whenever the original has more than one digit, leaves the same remainder as the original after division by nine, and may be obtained from the original by subtracting a multiple of 9 from it. The name of the procedure derives from this latter property. Repeated application of this procedure to the results obtained from previous applications until a single digit number is obtained. This single digit number is called the "digital root" of the original. If a number is divisible by 9, its digital root is 9. Otherwise, its digital root is the remainder it leaves after being divided by 9. A sanity test in which the above mentioned procedures are used to check for errors in arithmetical calculations. The test is carried out by applying the same sequence of arithmetical operations to the digital roots of the operands as are applied to the operands themselves. If no mistakes are made in the calculations, the digital roots of the two resultants will be the same. If they are different, therefore, one or more mistakes must have been made in the calculations.
Цифровые корни
Если процедура, описанная в предыдущем абзаце, применяется неоднократно к результату каждого предыдущего применения, то конечным результатом будет однозначное число, из которого все цифры 9, за исключением, возможно, одной, были "исключены". Полученное однозначное число называется цифровым корнем исходного числа. Исключение составляет случай, когда исходное число имеет цифровой корень, равный 9, поскольку сумма его цифр равна самому себе и, следовательно, дальнейшее суммирование цифр не приведет к его исключению. Например, число 12565 имеет сумму цифр 1+2+5+6+5 = 19, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1+9=10, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1+0=1 – однозначное число. Следовательно, цифровой корень числа 12565 равен 1, и его вычисление эквивалентно исключению (12565 – 1) / 9 = 1396 девяток из числа 12565.
Проверка вычислений путем исключения девяток
Чтобы проверить результат арифметического вычисления методом вычеркивания девяток, каждое число в вычислении заменяется его цифровой суммой, и те же вычисления применяются к этим цифровым суммам. Затем цифровая сумма результата этого вычисления сравнивается с цифровой суммой результата исходного вычисления. Если в вычислениях не допущено ошибок, эти две цифровые суммы должны совпадать. Ниже приведены примеры использования метода вычеркивания девяток для проверки сложения, вычитания, умножения и деления.
Добавление
В каждом слагаемом вычеркните все 9 и пары цифр, дающие в сумме 9, а затем сложите оставшиеся цифры. Эти новые значения называются избытками. Складывайте оставшиеся цифры для каждого слагаемого, пока не получите однозначное число. Затем обработайте сумму и также избытки, чтобы получить окончательный избыток. 2 и 4 в сумме дают 6. 8+1=9 и 4+5=9; цифр не осталось. 2, 4 и 6 дают 12; 1 и 2 дают 3. 2 и 0 дают 2. 6, 0, 3 и 2 дают 11; 1 и 1 в сумме дают 2. Избыток от суммы должен быть равен окончательному избытку от слагаемых.
Вычитание
Сначала вычеркните все 9 и цифры, сумма которых равна 9, как в уменьшаемом, так и в вычитаемом (курсивом). Сложите оставшиеся цифры для каждого значения, пока не получите однозначное число. Затем повторите ту же процедуру с разностью, приведя её к однозначному числу. Поскольку вычитание 2 из нуля дает отрицательное число, возьмите 9 взаймы из уменьшаемого. Разница между избытками уменьшаемого и вычитаемого должна равняться избытку разности.
Умножение
Сначала вычеркните все 9 и цифры, дающие в сумме 9 в каждом множителе (курсивным шрифтом). Сложите оставшиеся цифры каждого множителя, пока не получите однозначное число. Умножьте два полученных остатка, а затем сложите цифры результата, пока не получите однозначное число. Повторите то же самое с произведением: вычеркните 9 и получите однозначное число. *Остаток от произведения должен быть равен конечному остатку от множителей. *8 умножить на 8 равно 64; 6 и 4 в сумме дают 10; 1 и 0 в сумме дают 1.
Отделение
Вычеркните все 9 и цифры, дающие в сумме 9, в делителе, частном и остатке. Сложите все невычеркнутые цифры каждого числа, пока не получите однозначное число для каждого из них. Остаток от деления должен равняться конечному остатку от других чисел. Иными словами, выполните ту же процедуру, что и при умножении, но в обратном порядке. Например, 8 x 4 = 32, что дает 5 (3+2=5), затем 5+3=8. И 8=8.