Введение
Волновые уравнения, учитывающие специальную и общую теорию относительности
In physics, specifically relativistic quantum mechanics (RQM) and its applications to particle physics, relativistic wave equations predict the behavior of particles at high energies and velocities comparable to the speed of light. In the context of quantum field theory (QFT), the equations determine the dynamics of quantum fields. The solutions to the equations, universally denoted as ψ or Ψ (Greek psi), are referred to as "wave functions" in the context of RQM, and "fields" in the context of QFT. The equations themselves are called "wave equations" or "field equations", because they have the mathematical form of a wave equation or are generated from a Lagrangian density and the field theoretic Euler–Lagrange equations (see classical field theory for background). In the Schrödinger picture, the wave function or field is the solution to the Schrödinger equation;
one of the postulates of quantum mechanics. All relativistic wave equations can be constructed by specifying various forms of the Hamiltonian operator Ĥ describing the quantum system. Alternatively, Feynman's path integral formulation uses a Lagrangian rather than a Hamiltonian operator. More generally – the modern formalism behind relativistic wave equations is Lorentz group theory, wherein the spin of the particle has a correspondence with the representations of the Lorentz group.
В физике, в частности в релятивистской квантовой механике (RQM) и ее приложениях к физике частиц, релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях, сопоставимых со скоростью света. В контексте квантовой теории поля (QFT) эти уравнения определяют динамику квантовых полей. Решения уравнений, универсально обозначаемые как ψ или Ψ (греческая буква пси), называются "волновыми функциями" в контексте RQM и "полями" в контексте QFT. Сами уравнения называются "волновыми уравнениями" или "уравнениями поля", поскольку они имеют математическую форму волнового уравнения или выводятся из плотности лагранжиана и теоретических уравнений Эйлера-Лагранжа для полей (см. классическую теорию поля для справки). В картине Шрёдингера волновая функция или поле является решением уравнения Шрёдингера – одного из постулатов квантовой механики. Все релятивистские волновые уравнения могут быть построены путем задания различных форм гамильтониана Ĥ, описывающего квантовую систему. Альтернативно, интегральное представление Фейнмана использует лагранжиан вместо гамильтониана. В более общем плане – современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, представляет собой теорию группы Лоренца, в которой спин частицы соответствует представлениям этой группы.
In physics, specifically relativistic quantum mechanics (RQM) and its applications to particle physics, relativistic wave equations predict the behavior of particles at high energies and velocities comparable to the speed of light. In the context of quantum field theory (QFT), the equations determine the dynamics of quantum fields. The solutions to the equations, universally denoted as ψ or Ψ (Greek psi), are referred to as "wave functions" in the context of RQM, and "fields" in the context of QFT. The equations themselves are called "wave equations" or "field equations", because they have the mathematical form of a wave equation or are generated from a Lagrangian density and the field theoretic Euler–Lagrange equations (see classical field theory for background). In the Schrödinger picture, the wave function or field is the solution to the Schrödinger equation;
one of the postulates of quantum mechanics. All relativistic wave equations can be constructed by specifying various forms of the Hamiltonian operator Ĥ describing the quantum system. Alternatively, Feynman's path integral formulation uses a Lagrangian rather than a Hamiltonian operator. More generally – the modern formalism behind relativistic wave equations is Lorentz group theory, wherein the spin of the particle has a correspondence with the representations of the Lorentz group.
Начало 1920-х годов: классическая и квантовая механика
Неудача классической механики применительно к молекулярным, атомным и ядерным системам и системам меньшего размера обусловила необходимость в новой механике: квантовой механике. Математическая формулировка была разработана де Бройлем, Бором, Шрёдингером, Паули, Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична классической механике. Уравнение Шрёдингера и картина Гейзенберга сходны с классическими уравнениями движения в пределе больших квантовых чисел и при стремлении приведённой постоянной Планка ħ, кванта действия, к нулю. Это принцип соответствия. К тому моменту специальная теория относительности ещё не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шрёдингера и Гейзенберга в их первоначальном виде нельзя было применять в ситуациях, когда частицы движутся со скоростями, близкими к скорости света, или когда изменяется число частиц каждого типа (что происходит при реальных взаимодействиях частиц: многочисленные формы распада частиц, аннигиляции, рождения материи, образования пар и так далее).
1930-е - 1960-е: Релативистская квантовая механика частиц с более высоким спином
Естественной проблемой стало обобщение уравнения Дирака для частиц с любым спином, как фермионов, так и бозонов, и в тех же уравнениях – их античастиц (что стало возможным благодаря спинорной формализации, введенной Дираком в его уравнении, и последующим разработкам в спинорном исчислении Ван дер Вардена в 1929 году), и, в идеале, с положительноэнергетическими решениями. Майорана внес другие важные, но неопубликованные работы, включая волновые уравнения различных размерностей (5, 6 и 16). Они были предсказаны позднее (более сложным путем) де Бройлем (1934) и Даффином, Кеммером и Петио (около 1938–1939) – см. алгебру Даффина–Кеммера–Петио. Формализм Дирака–Фирца–Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новыми математическими инструментами в начале XX века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнер осознали это лишь спустя некоторое время, около 1940 года. В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на частицах со спином 3/2 и вывели уравнение Рариты–Швингера, включая лагранжиан для его получения, а затем обобщили уравнения, аналогичные спину n + ½ для целого n. В 1945 году Паули предложил статью Майораны 1932 года Бхабхе, который вновь обратился к общим идеям, предложенным Майораной в 1932 году. Бхаба и Лубански предложили полностью общий набор уравнений, заменив массовые члены в и произвольной постоянной, при соблюдении ряда условий, которым должны удовлетворять волновые функции. Наконец, в 1948 году (в том же году, когда была сформулирована интегральная формулировка Фейнмана) Баргман и Вигнер сформулировали общее уравнение для массивных частиц с любым спином, рассматривая уравнение Дирака с полностью симметричным спинором с конечным числом компонент и используя теорию группы Лоренца (как это делал Майорана): уравнения Баргмана–Вигнера. В начале 1960-х годов Г. Джоос и Стивен Вайнберг переформулировали уравнения Баргмана–Вигнера, получив уравнение Джооса–Вайнберга. В этот период различные теоретики проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином.
Нелинейные уравнения
Есть уравнения, имеющие решения, которые не удовлетворяют принципу суперпозиции.
Второй поворот
Уравнения Эйнштейна: описывают взаимодействие материи с гравитационным полем (безмассовое спиновое поле со спином 2): Решением является метрический тензор, а не волновая функция.