Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Свойство, определяющее сравнение и упорядочение
Property determining comparison and ordering
В математике величина или размер математического объекта — это свойство, определяющее, больше он или меньше других объектов того же типа. Более формально, величина объекта представляет собой результат упорядочивания (или ранжирования) класса объектов, к которому он принадлежит. Понятие величины восходит к Древней Греции и использовалось как мера расстояния между объектами. Для чисел абсолютная величина числа обычно применяется в качестве меры расстояния от числа до нуля. В векторных пространствах евклидова норма является мерой величины, используемой для определения расстояния между двумя точками в пространстве. В физике величина может определяться как количество или расстояние. Порядок величины обычно определяется как единица расстояния между числовыми разрядами двух чисел в десятичной системе счисления.
In mathematics, the magnitude or size of a mathematical object is a property which determines whether the object is larger or smaller than other objects of the same kind. More formally, an object's magnitude is the displayed result of an ordering (or ranking) of the class of objects to which it belongs. Magnitude as a concept dates to Ancient Greece and has been applied as a measure of distance from one object to another. For numbers, the absolute value of a number is commonly applied as the measure of units between a number and zero. In vector spaces, the Euclidean norm is a measure of magnitude used to define a distance between two points in space. In physics, magnitude can be defined as quantity or distance. An order of magnitude is typically defined as a unit of distance between one number and another's numerical places on the decimal scale.
Число
Величина любого числа обычно называется его абсолютной величиной или модулем, обозначаемым .
The magnitude of any number is usually called its absolute value or modulus, denoted by .
Комплексные числа
Комплексное число z можно рассматривать как положение точки P в двухмерном пространстве, называемом комплексной плоскостью. Абсолютное значение (или модуль) z можно рассматривать как расстояние точки P от начала координат этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в двухмерном евклидовом пространстве:
A complex number z may be viewed as the position of a point P in a 2 dimensional space, called the complex plane. The absolute value (or modulus) of z may be thought of as the distance of P from the origin of that space. The formula for the absolute value of 1=z = a + bi is similar to that for the Euclidean norm of a vector in a 2 dimensional Euclidean space:
где действительные числа a и b являются действительной и мнимой частями z соответственно. Например, модуль числа −3 + 4i равен . Альтернативно, величина комплексного числа z может быть определена как квадратный корень из произведения этого числа и его комплексно сопряженного, , где для любого комплексного числа , его комплексно сопряженное число равно
where the real numbers a and b are the real part and the imaginary part of z, respectively. For instance, the modulus of −3 + 4i is Alternatively, the magnitude of a complex number z may be defined as the square root of the product of itself and its complex conjugate, , where for any complex number , its complex conjugate is
(где ).
(where ).
Нормированные векторные пространства
По определению, все евклидовы векторы имеют длину (см. выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не имеет длины. Векторное пространство, наделенное нормой, такое как евклидово пространство, называется нормированным векторным пространством. Норма вектора v в нормированном векторном пространстве может рассматриваться как длина вектора v.
By definition, all Euclidean vectors have a magnitude (see above). However, a vector in an abstract vector space does not possess a magnitude. A vector space endowed with a norm, such as the Euclidean space, is called a normed vector space. The norm of a vector v in a normed vector space can be considered to be the magnitude of v.
Псевдо-евклидово пространство
В псевдоевклидовом пространстве длина вектора определяется значением квадратичной формы, вычисленной для этого вектора.
In a pseudo Euclidean space, the magnitude of a vector is the value of the quadratic form for that vector.
Логарифмические величины
При сравнении величин часто используется логарифмическая шкала. Примеры включают громкость звука (измеряемую в децибелах), яркость звезды и шкалу Рихтера для измерения интенсивности землетрясений. Логарифмические величины могут быть отрицательными. В естественных науках логарифмическая величина обычно называется уровнем.
When comparing magnitudes, a logarithmic scale is often used. Examples include the loudness of a sound (measured in decibels), the brightness of a star, and the Richter scale of earthquake intensity. Logarithmic magnitudes can be negative. In the natural sciences, a logarithmic magnitude is typically referred to as a level.
Порядок величины
Порядки величин отражают разницу в числовых значениях, как правило, измерений, в десять раз — то есть, разницу в одной цифре положения десятичной точки.
Orders of magnitude denote differences in numeric quantities, usually measurements, by a factor of 10—that is, a difference of one digit in the location of the decimal point.