Введение
Несинусоидальная волна
The sawtooth wave (or saw wave) is a kind of non sinusoidal waveform. It is so named based on its resemblance to the teeth of a plain toothed saw with a zero rake angle. A single sawtooth, or an intermittently triggered sawtooth, is called a ramp waveform. The convention is that a sawtooth wave ramps upward and then sharply drops. In a reverse (or inverse) sawtooth wave, the wave ramps downward and then sharply rises. It can also be considered the extreme case of an asymmetric triangle wave. The equivalent piecewise linear functions
based on the floor function of time t is an example of a sawtooth wave with period 1. A more general form, in the range −1 to 1, and with period p, is
This sawtooth function has the same phase as the sine function. While a square wave is constructed from only odd harmonics, a sawtooth wave's sound is harsh and clear and its spectrum contains both even and odd harmonics of the fundamental frequency. Because it contains all the integer harmonics, it is one of the best waveforms to use for subtractive synthesis of musical sounds, particularly bowed string instruments like violins and cellos, since the slip stick behavior of the bow drives the strings with a sawtooth like motion. A sawtooth can be constructed using additive synthesis. For period p and amplitude a, the following infinite Fourier series converge to a sawtooth and a reverse (inverse) sawtooth wave:
In digital synthesis, these series are only summed over k such that the highest harmonic, Nmax, is less than the Nyquist frequency (half the sampling frequency). This summation can generally be more efficiently calculated with a fast Fourier transform. If the waveform is digitally created directly in the time domain using a non bandlimited form, such as y = x − floor(x), infinite harmonics are sampled and the resulting tone contains aliasing distortion. An audio demonstration of a sawtooth played at 440 Hz (A4) and 880 Hz (A5) and 1,760 Hz (A6) is available below. Both bandlimited (non aliased) and aliased tones are presented.
Пилообразная волна (или пильная волна) — это вид несинусоидальной формы волны. Она получила свое название из-за сходства с зубьями обычной пилы с нулевым углом наклона. Отдельный пик пилообразной волны или периодически генерируемый пик называется волновой формой рампы. Обычно пилообразная волна нарастает вверх, а затем резко падает. В обратной (или инверсной) пилообразной волне волна убывает вниз, а затем резко возрастает. Ее также можно рассматривать как крайний случай асимметричной треугольной волны. Эквивалентные кусочно-линейные функции, основанные на функции взятия целой части времени t, являются примером пилообразной волны с периодом 1. Более общая форма, в диапазоне от -1 до 1 и с периодом p, выглядит следующим образом:
The sawtooth wave (or saw wave) is a kind of non sinusoidal waveform. It is so named based on its resemblance to the teeth of a plain toothed saw with a zero rake angle. A single sawtooth, or an intermittently triggered sawtooth, is called a ramp waveform. The convention is that a sawtooth wave ramps upward and then sharply drops. In a reverse (or inverse) sawtooth wave, the wave ramps downward and then sharply rises. It can also be considered the extreme case of an asymmetric triangle wave. The equivalent piecewise linear functions
based on the floor function of time t is an example of a sawtooth wave with period 1. A more general form, in the range −1 to 1, and with period p, is
This sawtooth function has the same phase as the sine function. While a square wave is constructed from only odd harmonics, a sawtooth wave's sound is harsh and clear and its spectrum contains both even and odd harmonics of the fundamental frequency. Because it contains all the integer harmonics, it is one of the best waveforms to use for subtractive synthesis of musical sounds, particularly bowed string instruments like violins and cellos, since the slip stick behavior of the bow drives the strings with a sawtooth like motion. A sawtooth can be constructed using additive synthesis. For period p and amplitude a, the following infinite Fourier series converge to a sawtooth and a reverse (inverse) sawtooth wave:
In digital synthesis, these series are only summed over k such that the highest harmonic, Nmax, is less than the Nyquist frequency (half the sampling frequency). This summation can generally be more efficiently calculated with a fast Fourier transform. If the waveform is digitally created directly in the time domain using a non bandlimited form, such as y = x − floor(x), infinite harmonics are sampled and the resulting tone contains aliasing distortion. An audio demonstration of a sawtooth played at 440 Hz (A4) and 880 Hz (A5) and 1,760 Hz (A6) is available below. Both bandlimited (non aliased) and aliased tones are presented.
Эта пилообразная функция имеет ту же фазу, что и синусоидальная функция. В то время как прямоугольная волна состоит только из нечетных гармоник, звук пилообразной волны резкий и чистый, а ее спектр содержит как четные, так и нечетные гармоники основной частоты. Поскольку она содержит все целые гармоники, это одна из лучших форм волн для субтрактивного синтеза музыкальных звуков, особенно смычковых струнных инструментов, таких как скрипки и виолончели, поскольку скользящее движение смычка приводит в движение струны движением, подобным пиле. Пилообразную волну можно создать с помощью аддитивного синтеза. Для периода p и амплитуды a следующие бесконечные ряды Фурье сходятся к пилообразной и обратной (инверсной) пилообразной волне:
The sawtooth wave (or saw wave) is a kind of non sinusoidal waveform. It is so named based on its resemblance to the teeth of a plain toothed saw with a zero rake angle. A single sawtooth, or an intermittently triggered sawtooth, is called a ramp waveform. The convention is that a sawtooth wave ramps upward and then sharply drops. In a reverse (or inverse) sawtooth wave, the wave ramps downward and then sharply rises. It can also be considered the extreme case of an asymmetric triangle wave. The equivalent piecewise linear functions
based on the floor function of time t is an example of a sawtooth wave with period 1. A more general form, in the range −1 to 1, and with period p, is
This sawtooth function has the same phase as the sine function. While a square wave is constructed from only odd harmonics, a sawtooth wave's sound is harsh and clear and its spectrum contains both even and odd harmonics of the fundamental frequency. Because it contains all the integer harmonics, it is one of the best waveforms to use for subtractive synthesis of musical sounds, particularly bowed string instruments like violins and cellos, since the slip stick behavior of the bow drives the strings with a sawtooth like motion. A sawtooth can be constructed using additive synthesis. For period p and amplitude a, the following infinite Fourier series converge to a sawtooth and a reverse (inverse) sawtooth wave:
In digital synthesis, these series are only summed over k such that the highest harmonic, Nmax, is less than the Nyquist frequency (half the sampling frequency). This summation can generally be more efficiently calculated with a fast Fourier transform. If the waveform is digitally created directly in the time domain using a non bandlimited form, such as y = x − floor(x), infinite harmonics are sampled and the resulting tone contains aliasing distortion. An audio demonstration of a sawtooth played at 440 Hz (A4) and 880 Hz (A5) and 1,760 Hz (A6) is available below. Both bandlimited (non aliased) and aliased tones are presented.
В цифровом синтезе эти ряды суммируются только по k, так что наивысшая гармоника Nmax меньше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации). Это суммирование обычно можно вычислить более эффективно с помощью быстрого преобразования Фурье. Если форма волны создается цифровым способом непосредственно во временной области с использованием неограниченной по полосе формы, такой как y = x − floor(x), отбираются бесконечные гармоники, и результирующий тон содержит искажения наложения спектров. Ниже представлена аудиодемонстрация пилообразной волны, воспроизводимой на частотах 440 Гц (A4), 880 Гц (A5) и 1760 Гц (A6). Представлены как полосоограниченные (без искажений наложения спектров), так и искаженные тоны.
The sawtooth wave (or saw wave) is a kind of non sinusoidal waveform. It is so named based on its resemblance to the teeth of a plain toothed saw with a zero rake angle. A single sawtooth, or an intermittently triggered sawtooth, is called a ramp waveform. The convention is that a sawtooth wave ramps upward and then sharply drops. In a reverse (or inverse) sawtooth wave, the wave ramps downward and then sharply rises. It can also be considered the extreme case of an asymmetric triangle wave. The equivalent piecewise linear functions
based on the floor function of time t is an example of a sawtooth wave with period 1. A more general form, in the range −1 to 1, and with period p, is
This sawtooth function has the same phase as the sine function. While a square wave is constructed from only odd harmonics, a sawtooth wave's sound is harsh and clear and its spectrum contains both even and odd harmonics of the fundamental frequency. Because it contains all the integer harmonics, it is one of the best waveforms to use for subtractive synthesis of musical sounds, particularly bowed string instruments like violins and cellos, since the slip stick behavior of the bow drives the strings with a sawtooth like motion. A sawtooth can be constructed using additive synthesis. For period p and amplitude a, the following infinite Fourier series converge to a sawtooth and a reverse (inverse) sawtooth wave:
In digital synthesis, these series are only summed over k such that the highest harmonic, Nmax, is less than the Nyquist frequency (half the sampling frequency). This summation can generally be more efficiently calculated with a fast Fourier transform. If the waveform is digitally created directly in the time domain using a non bandlimited form, such as y = x − floor(x), infinite harmonics are sampled and the resulting tone contains aliasing distortion. An audio demonstration of a sawtooth played at 440 Hz (A4) and 880 Hz (A5) and 1,760 Hz (A6) is available below. Both bandlimited (non aliased) and aliased tones are presented.
Приложения
Волны пилообразного типа известны своим применением в музыке. Пилообразные и прямоугольные волны являются одними из наиболее распространенных форм сигнала, используемых для создания звуков с помощью субтрактивных аналоговых и виртуальных аналоговых музыкальных синтезаторов. Пилообразные волны используются в импульсных источниках питания. В микросхеме регулятора сигнал обратной связи с выхода непрерывно сравнивается с высокочастотной пилообразной волной для генерации нового ШИМ-сигнала с заданным коэффициентом заполнения на выходе компаратора. В области информатики, особенно в автоматизации и робототехнике, пилообразная волна позволяет вычислять суммы и разности углов, избегая разрывов при 360° и 0°. Пилообразная волна представляет собой форму сигналов вертикального и горизонтального отклонения, используемых для генерации растра на экранах телевизоров или мониторов на основе ЭЛТ. Осциллографы также используют пилообразную волну для своего горизонтального отклонения, хотя обычно применяют электростатическое отклонение. На "подъеме" волны магнитное поле, создаваемое отклоняющей катушкой, перемещает электронный луч по поверхности ЭЛТ, создавая строку развертки. На "падении" волны магнитное поле внезапно схлопывается, заставляя электронный луч вернуться в исходное положение как можно быстрее. Ток, подаваемый на отклоняющую катушку, регулируется различными способами (трансформаторы, конденсаторы, центральные отводы обмоток) таким образом, чтобы напряжение в середине "падения" пилообразной волны соответствовало нулевому уровню, что означает, что отрицательный ток вызовет отклонение в одном направлении, а положительный – в другом; таким образом, отклоняющая катушка центрального крепления может использовать всю площадь экрана для отображения трассы. Горизонтальная частота составляет 15,734 кГц для NTSC, 15,625 кГц для PAL и SECAM. Вертикальная система отклонения работает аналогично горизонтальной, но на гораздо более низкой частоте (59,94 Гц для NTSC, 50 Гц для PAL и SECAM). Участок "подъема" волны должен выглядеть как прямая линия. В противном случае это указывает на то, что ток не увеличивается линейно, а значит, магнитное поле, создаваемое отклоняющей катушкой, также нелинейно. В результате электронный луч будет ускоряться на нелинейных участках. Это приведет к "сжатию" телевизионного изображения в направлении нелинейности. В крайних случаях наблюдается заметное увеличение яркости, поскольку электронный луч проводит больше времени на этой стороне изображения. Первые телевизионные приемники имели органы управления, позволяющие пользователям регулировать вертикальную или горизонтальную линейность изображения. Такие органы управления отсутствовали в более поздних моделях, поскольку стабильность электронных компонентов была улучшена.