Введение

Топологическое пространство, топология которого полностью определяется решеткой своих открытых множеств. В математике, трезвым пространством называется топологическое пространство X, такое что каждое (непустое) неразложимое замкнутое подмножество X является замыканием ровно одной точки X: то есть, каждое неразложимое замкнутое подмножество имеет единственную обобщенную точку.

Определения

Собственные пространства имеют различные криптоморфные определения, которые изложены в этом разделе. Все, кроме определения через сети, описаны далее. В каждом из приведенных ниже случаев замена слова "единственный" на "не более одного" дает эквивалентную формулировку аксиомы T0. Замена его на "по крайней мере один" эквивалентна тому, что T0-частное пространства является собственным, что в литературе иногда называют наличием "достаточного количества точек".

с необратимыми закрытыми множествами

Закрытое множество называется необратимым, если его нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств. Пространство называется трезвым, если каждое непустое необратимое замкнутое подмножество является замыканием единственной точки.

С точки зрения морфизма кадров и локализации

Топологическое пространство X называется трезвым, если каждое отображение, сохраняющее все объединения и все конечные пересечения из его частично упорядоченного множества открытых подмножеств, является прообразом единственной непрерывной функции из одноточечного пространства в X. Это можно интерпретировать как соответствие между понятием точки в локали и понятием точки в топологическом пространстве, что и является исходным определением.

Используя полностью простые фильтры

Фильтр F открытых множеств называется вполне простым, если для любой семьи открытых множеств {Uᵢ} такой, что ∩ᵢ Uᵢ = ∅, существует такое i, что Uᵢ = ∅. Пространство X называется трезвым, если для каждого вполне простого фильтра в X существует единственная точка, фильтр окрестностей которой совпадает с этим фильтром.

В отношении сетей

Сеть называется самосходящейся, если она сходится к каждой точке в , или, что эквивалентно, если её фильтр окрестностей полностью прост. Сеть, сходящаяся к , сходится сильно, если она может сходиться только к точкам из замыкания . Пространство называется трезвым, если каждая самосходящаяся сеть сходится сильно к единственной точке.
В частности, пространство является T1 и трезвым тогда и только тогда, когда каждая самосходящаяся сеть постоянна.

Как свойство снопов на пространстве

Пространство X называется трезвым, если каждый функтор из категории пучков Sh(X) в Set, сохраняющий все конечные пределы и все малые колимиты, должен быть функтором сечений в уникальной точке x.