Введение

Обобщение векторных расслоений
В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий, когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами базового пространства. Определение когерентных пучков дается со ссылкой на пучок колец, который кодирует эту геометрическую информацию. Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений. В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и, следовательно, замкнуты относительно таких операций, как взятие ядра, образа и коядра. Квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга. Когомология когерентного пучка — мощный инструмент, особенно для изучения сечений заданного когерентного пучка.

Случай с схемами

Когда является схемой, общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным определениям. Сноп модулей квазикогерентен тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфно снопу, ассоциированному с модулем над . Если является локально нётеровской схемой, то сноп когерентен тогда и только тогда, когда он квазикогерентен и вышеуказанные модули можно брать конечно порожденными. На аффинной схеме существует эквивалентность категорий между -модулями и квазикогерентными снопами, которая отображает -модуль в ассоциированный сноп. Обратная эквивалентность отображает квазикогерентный сноп на -модуль глобальных сечений.

Вот несколько дополнительных характеристик квазикогерентных снопов на схеме.

Свойства

На произвольном кольцевом пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию и чрезвычайно полезны в этом контексте. На любом кольцевом пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, являющуюся полной подкатегорией категории модулей. (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех модулей.) Следовательно, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков являются когерентными. Прямая сумма двух когерентных пучков является когерентной; в более общем смысле, модуль, являющийся расширением двух когерентных пучков, является когерентным. Подмодуль когерентного пучка является когерентным, если он конечного типа. Когерентный пучок всегда является модулем конечной презентации, что означает, что для каждой точки в существует открытое окрестность , такая что ограничение на изоморфно коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если пучок когерентный, то, наоборот, любой пучок конечной презентации над является когерентным. Пучок колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве является когерентным пучком колец. Основная часть доказательства – это случай. Аналогично, на локально нётеровской схеме структура пучок является когерентным пучком колец.

Функциональность

Пусть это морфизм кольцевых пространств (например, морфизм схем). Если — квазикогерентный пучок на , то обратный образ (или откат) — квазикогерентный модуль на . Для морфизма схем и когерентного пучка на , откат не является когерентным в общем случае (например, , который может быть некогерентным), но откат когерентных пучков является когерентным, если локально ноэтерианский. Важным частным случаем является откат векторного расслоения, который является векторным расслоением. Если — квазикомпактный квазиотделенный морфизм схем и — квазикогерентный пучок на , то прямое изображение (или проталкивание) — квазикогерентный пучок на . Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может изменяться на замкнутом подмножестве меньшей размерности. В том же духе: когерентный пучок на схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель является свободным модулем над локальным кольцом для каждой точки в . На общей схеме нельзя определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, только по его волокнам (в отличие от его стеблей). Однако, на локально уменьшенной ноэтерианской схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен.

Категория квазисвязных снопов

Квазикогерентные пучки на любой фиксированной схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что, фактически, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют особенно хорошо организованную абелеву категорию, категорию Гротендика. Квазикомпактная квазиразделённая схема (например, алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на , по Розенбергу, обобщая результат Габриэля.

Соответствующая кохомология

Основным техническим инструментом в алгебраической геометрии является теория кохомологий когерентных пучков. Хотя она была введена лишь в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии получают более ясное изложение благодаря языку кохомологий пучков, применяемому к когерентным пучкам. В широком смысле, кохомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для получения функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии кохомологии когерентных пучков также играют основополагающую роль. К ключевым результатам теории кохомологий когерентных пучков относятся результаты о конечномерности кохомологий, результаты об исчезновении кохомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра, соотношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа, и формулы для характеристик Эйлера когерентных пучков, такие как теорема Римана — Роха.