Введение

В математике, особенно в функциональном анализе, пространство Цирельсона является первым примером пространства Банаха, в которое нельзя вложить ни пространство ℓp, ни пространство c₀. Пространство Цирельсона рефлексивно. Оно было введено Б. С. Цирельсоном в 1974 году. В том же году Фигиэль и Джонсон опубликовали связанную статью, в которой использовали обозначение T для дуального пространства примера Цирельсона. Сегодня буквой T обозначается дуальное пространство исходного примера, а исходный пример Цирельсона обозначается T*. В T* или в T ни одно подпространство не изоморфно, как пространство Банаха, пространству ℓp, 1 ≤ p < ∞, или c₀. Все известные классические пространства Банаха – пространства непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций – и все пространства Банаха, используемые в функциональном анализе в течение последующих сорока лет, содержат некоторое ℓp или c₀. Кроме того, новые попытки в начале 70-х годов развить геометрическую теорию пространств Банаха привели к вопросу о том, имеет ли каждое бесконечномерное пространство Банаха подпространство, изоморфное некоторому ℓp или c₀. Более того, Бодье, Лансьен и Шлумпрехт показали, что ℓp и c₀ даже не грубо вкладываются в T*. Радикально новая конструкция Цирельсона лежит в основе ряда дальнейших разработок в теории пространства Банаха: произвольно искажаемого пространства Томаса Шлумпрехта, от которого зависят решение Говерса проблемы гиперплоскости Банаха и решение Оделла – Шлумпрехта проблемы искажения. Также ряд результатов Аргироса и др. основаны на порядковых уточнениях конструкции Цирельсона, кульминацией которых стало решение Аргиросом – Хейдоном скалярной плюс компактной задачи.

Свойства

Пространство Цирельсона T* является рефлексивным и конечно универсальным, что означает, что для некоторой константы C, пространство T* содержит C изоморфных копий каждого конечномерного нормированного пространства, а именно, для каждого конечномерного нормированного пространства X существует подпространство Y пространства Цирельсона с мультипликативным расстоянием Банаха-Мазура до X, меньшим C. Фактически, каждое конечно универсальное пространство Банаха содержит почти изометрические копии каждого конечномерного нормированного пространства, что означает, что C может быть заменено на 1 + ε для каждого ε > 0. Кроме того, каждое бесконечномерное подпространство T* является конечно универсальным. С другой стороны, каждое бесконечномерное подпространство в двойственном пространстве T пространства T* содержит почти изометрические копии ℓ₁ пространства размерности n, для всех n. Пространство Цирельсона T деформируемо, но неизвестно, является ли оно произвольно деформируемым. Пространство T* является минимальным пространством Банаха. Это означает, что каждое бесконечномерное подпространство Банаха пространства T* содержит дополнительное подпространство, изоморфное T*. До построения T* единственными известными примерами минимальных пространств были ℓₚ и c₀. Двойственное пространство T не является минимальным. Пространство T* является полиномиально рефлексивным.

Выведенные пространства

Симметричное пространство Цирельсона S(T) является полиномиально рефлексивным и обладает свойством аппроксимации. Как и пространство T, оно рефлексивно, и в него нельзя вложить пространство ℓp. Поскольку оно симметрично, его можно определить даже на неисчислимом носителе, что дает пример несепарабельного полиномиально рефлексивного банахова пространства.