Введение

Тип гладкой сложной поверхности кодайры измерения 0.

В математике сложная аналитическая поверхность K3 представляет собой компактное связное комплексное многообразие размерности 2 с тривиальным каноническим расслоением и нерегулярностью, равной нулю. (Алгебраическая) поверхность K3 над любым полем означает гладкую проективную геометрически связную алгебраическую поверхность, удовлетворяющую тем же условиям. В классификации поверхностей Энрикеса — Кодайры поверхности K3 образуют один из четырех классов минимальных поверхностей кодайры измерения ноль. Простым примером является квартичная поверхность Ферма в комплексном проективном пространстве размерности 3. Вместе с двумерными компактными комплексными торами, поверхности K3 являются многообразиями Калаби — Яу (а также гиперкэлеровыми многообразиями) размерности два. Как таковые, они находятся в центре классификации алгебраических поверхностей, между положительно искривлёнными поверхностями дель Пеццо (которые легко классифицировать) и отрицательно искривлёнными поверхностями общего типа (которые по существу не поддаются классификации). Поверхности K3 можно считать простейшими алгебраическими многообразиями, структура которых не сводится к кривым или абелевым многообразиям, и при этом возможно их существенное изучение. Комплексная поверхность K3 имеет вещественную размерность 4 и играет важную роль в изучении гладких 4-многообразий. Поверхности K3 применяются в алгебрах Каца — Муди, зеркальной симметрии и теории струн. Может быть полезно рассматривать комплексные алгебраические поверхности K3 как часть более широкого семейства комплексных аналитических поверхностей K3. Многие другие типы алгебраических многообразий не имеют подобных неалгебраических деформаций.

Определение

Существует несколько эквивалентных способов определения поверхностей K3. Единственными компактными комплексными поверхностями с тривиальным каноническим расслоением являются поверхности K3 и компактные комплексные торы, поэтому можно добавить любое условие, исключающее последние, для определения поверхностей K3. Например, эквивалентно определить комплексно-аналитическую поверхность K3 как простосвязное компактное комплексное многообразие размерности 2 с нигде не обращающейся в ноль голоморфной 2-формой. (Последнее условие означает, что каноническое расслоение тривиально.) Существуют также различные варианты определения. Над комплексными числами некоторые авторы рассматривают только алгебраические поверхности K3. (Алгебраическая поверхность K3 автоматически является проективной.) Или можно допустить, чтобы поверхности K3 имели сингулярности дю Валя (канонические сингулярности размерности 2), а не были гладкими.

Примеры

Двойное покрытие X проективной плоскости, разветвленное вдоль гладкой секстической (степень 6) кривой, является поверхностью K3 рода 2 (то есть, степень 2g−2 = 2). (Эта терминология означает, что прообраз в X общей гиперплоскости является гладкой кривой рода 2). Гладкая квартика (степень 4) в является поверхностью K3 рода 3 (то есть, степень 4). Поверхность Куммера — это фактор двумерного абелева многообразия A по действию , что приводит к 16 сингулярностям в точках 2-го порядка кручения A. Минимальное разрешение этой сингулярной поверхности также может называться поверхностью Куммера; это разрешение является поверхностью K3. Когда A является якобианом кривой рода 2, Куммер показал, что фактор можно вложить в как квартичную поверхность с 16 узлами. В более общем случае: для любой квартичной поверхности Y с сингулярностями дю Валя, минимальное разрешение Y является алгебраической поверхностью K3. Пересечение квадрики и кубики в является поверхностью K3 рода 4 (то есть, степени 6). Пересечение трех квадрик в является поверхностью K3 рода 5 (то есть, степени 8). Существуют несколько баз данных поверхностей K3 с сингулярностями дю Валя во взвешенных проективных пространствах.

Сетка Пикарда

Группа Пикарда Pic(X) сложной аналитической поверхности K3 X означает абелеву группу комплексных аналитических прямых расслоений на X. Для алгебраической поверхности K3 Pic(X) означает группу алгебраических прямых расслоений на X. Эти два определения совпадают для сложной алгебраической поверхности K3, согласно теореме GAGA Жана Пьера Серра. Группа Пикарда поверхности K3 X всегда является конечно порожденной свободной абелевой группой; ее ранг называется числом Пикарда. В комплексном случае Pic(X) является подгруппой. Для комплексной алгебраической поверхности K3 X число Пикарда может быть любым целым числом от 1 до 20. В комплексном аналитическом случае число Пикарда также может быть равно нулю. (В этом случае X не содержит замкнутых комплексных кривых вообще. В отличие от этого, алгебраическая поверхность всегда содержит множество непрерывных семейств кривых.) Над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0 существует специальный класс поверхностей K3, суперсингулярные поверхности K3, с числом Пикарда 22. Решетка Пикарда поверхности K3 означает абелеву группу Pic(X) вместе с ее формой пересечения, симметричной билинейной формой со значениями в целых числах. (На общем поле форму пересечения можно определить, используя теорию пересечения кривых на поверхности, отождествляя группу Пикарда с группой классов делителей.) Решетка Пикарда поверхности K3 всегда четная, то есть целое число четно для каждого . Теорема Ходжа об индексе подразумевает, что решетка Пикарда алгебраической поверхности K3 имеет сигнатуру . Многие свойства поверхности K3 определяются ее решеткой Пикарда, как симметричной билинейной формой над целыми числами. Это приводит к тесной связи между теорией поверхностей K3 и арифметикой симметричных билинейных форм. В качестве первого примера этой связи: комплексная аналитическая поверхность K3 является алгебраической тогда и только тогда, когда существует элемент такой, что . Грубо говоря, пространство всех комплексных аналитических поверхностей K3 имеет комплексную размерность 20, в то время как пространство поверхностей K3 с числом Пикарда имеет размерность (исключая суперсингулярный случай). В частности, алгебраические поверхности K3 встречаются в 19-мерных семействах. Более подробная информация о пространствах модулей поверхностей K3 приведена ниже. Точное описание того, какие решетки могут возникать как решетки Пикарда поверхностей K3, является сложным. Одно четкое утверждение, принадлежащее Виачеславу Никулину и Дэвиду Моррисону, заключается в том, что каждая четная решетка с сигнатурой и является решеткой Пикарда некоторой комплексной проективной поверхности K3. Пространство таких поверхностей имеет размерность .

Эллиптические поверхности K3

Важный подкласс поверхностей K3, более легкий для анализа, чем общий случай, состоит из поверхностей K3 с эллиптической фибрацией. "Эллиптический" означает, что все, кроме конечного числа волокон этого морфизма, являются гладкими кривыми рода 1. Особые волокна – это объединения рациональных кривых, а возможные типы особых волокон классифицированы Кодайрой. Всегда существуют особые волокна, поскольку сумма топологических эйлеровых характеристик особых волокон равна . Общая эллиптическая поверхность K3 имеет ровно 24 особых волокна, каждое из которых имеет тип (узловая кубическая кривая). Можно определить, является ли поверхность K3 эллиптической, по ее решетке Пикара. А именно, в характеристике, отличной от 2 или 3, поверхность K3 X имеет эллиптическую фибрацию тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент с (В характеристике 2 или 3 последнее условие также может соответствовать квазиэллиптической фибрации). Следовательно, наличие эллиптической фибрации является условием кодименсионности 1 на поверхности K3. Таким образом, существует 19-мерное семейство комплексных аналитических поверхностей K3 с эллиптической фибрацией и 18-мерные модульные пространства проективных поверхностей K3 с эллиптической фибрацией. Пример: Каждая гладкая квартичная поверхность X в , содержащая прямую L, имеет эллиптическую фибрацию, заданную проекцией из L. Модульное пространство всех гладких квартичных поверхностей (с точностью до изоморфизма) имеет размерность 19, в то время как подпространство квартичных поверхностей, содержащих прямую, имеет размерность 18.

Рациональные кривые на поверхностях K3

В отличие от положительно искривлённых многообразий, таких как поверхности дель Пеццо, сложная алгебраическая поверхность K3 X не является унирульной; то есть, она не может быть покрыта непрерывным семейством рациональных кривых. С другой стороны, в отличие от отрицательно искривлённых многообразий, таких как поверхности общего типа, X содержит большое дискретное множество рациональных кривых (возможно, особых). В частности, Фёдор Богомолов и Дэвид Мамфорд показали, что любая кривая на X линейно эквивалентна положительной линейной комбинации рациональных кривых. Ещё одно отличие от отрицательно искривлённых многообразий заключается в том, что метрика Кобаяси на сложной аналитической поверхности K3 X тождественно равна нулю. В доказательстве используется тот факт, что алгебраическая поверхность K3 X всегда покрыта непрерывным семейством образов эллиптических кривых. (Эти кривые особы в X, если только X не является эллиптической поверхностью K3). Более сложный вопрос, который остаётся открытым, заключается в том, допускает ли каждая сложная поверхность K3 неголоморфное отображение из (где "неголоморфное" означает, что производная отображения является изоморфизмом в некоторой точке).

Карта периода

Определите маркировку сложной аналитической поверхности K3 X как изоморфизм решеток из решетки K3 в K3-решетку. Пространство N отмеченных комплексных поверхностей K3 является нехаусдорфовым комплексным многообразием размерности 20. Множество классов изоморфизма комплексных аналитических поверхностей K3 является факторпространством N по ортогональной группе O, но это факторпространство не является геометрически осмысленным модульным пространством, поскольку действие O далеко не является корректно разрывным. (Например, пространство гладких квартических поверхностей является неприводимым многообразием размерности 19, и тем не менее каждая комплексная аналитическая поверхность K3 в 20-мерном семействе N имеет сколь угодно малые деформации, изоморфные гладким квартикам.) По той же причине не существует осмысленного модульного пространства компактных комплексных торов размерности не менее 2. Периодическое отображение сопоставляет поверхности K3 их структуре Ходжа. При аккуратном формулировании теорема Торелли справедлива: поверхность K3 определяется своей структурой Ходжа. Домен периодов определяется как 20-мерное комплексное многообразие.

Периодическое отображение сопоставляет отмеченную поверхность K3 X комплексной прямой. Оно сюръективно и является локальным изоморфизмом, но не изоморфизмом (в частности, потому что D является хаусдорфовым, а N – нет). Однако глобальная теорема Торелли для поверхностей K3 утверждает, что факторное отображение множеств

является биективным. Следовательно, две комплексные аналитические поверхности K3 X и Y изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа из в , то есть изоморфизм абелевых групп, сохраняющий форму пересечения и отображающий в .

Пространства модулей проективных поверхностей K3

Поляризованная поверхность K3 рода g определяется как проективная поверхность K3 вместе с обильным линейным расслоением L, таким что L примитивно (то есть, не является кратным 2 или более другому линейному расслоению) и это также называется поляризованной поверхностью K3 степени 2g–2. При этих предположениях L не имеет базовых точек. В характеристике ноль теорема Бертини подразумевает, что существует гладкая кривая C в линейной системе |L|. Все такие кривые имеют род g, что объясняет, почему (X, L) называется поверхностью рода g. Векторное пространство сечений L имеет размерность g + 1, и поэтому L задает морфизм из X в проективное пространство. В большинстве случаев этот морфизм является вложением, так что X изоморфна поверхности степени 2g–2 в . Для каждого g существует неприводимое грубое модульное пространство поляризованных комплексных поверхностей K3 рода g; его можно рассматривать как открытое подмножество Зариски в разновидности Шимуры для группы SO(2,19). Для каждого g, является квазипроективным комплексным многообразием размерности 19. Шигеру Мукай показал, что это модульное пространство унирационально, если или . В отличие от этого, Валерий Гриценко, Клаус Хулек и Грегори Санкаран показали, что имеет общий тип, если или . Обзор этой области был дан . Различные 19-мерные модульные пространства пересекаются сложным образом. Действительно, существует счетное бесконечное множество подмногообразий коразмерности 1 в каждом , соответствующих поверхностям K3 с числом Пикара не менее 2. Эти поверхности K3 имеют поляризации бесконечного числа различных степеней, а не только 2g–2. Таким образом, можно сказать, что бесконечно много других модульных пространств пересекаются. Это неточно, поскольку не существует хорошо определенного пространства, содержащего все модульные пространства. Однако конкретным вариантом этой идеи является тот факт, что любые две комплексные алгебраические поверхности K3 деформационно эквивалентны через алгебраические поверхности K3. В более общем смысле, квазиполяризованная поверхность K3 рода g означает проективную поверхность K3 с примитивным нефом и большим линейным расслоением L, таким что такое линейное расслоение все еще задает морфизм в , но теперь оно может стягивать конечное число (-2)-кривых, так что образ Y из X является сингулярным. ((-2)-кривая на поверхности означает кривую, изоморфную с самопересечением -2.) Модульное пространство квазиполяризованных поверхностей K3 рода g по-прежнему неприводимо размерности 19 (содержащее предыдущее модульное пространство как открытое подмножество). Формально, лучше рассматривать это как модульное пространство поверхностей K3 Y с сингулярностями типа дю Валь.

Широкий конус и конус кривых

Замечательная особенность алгебраических поверхностей K3 заключается в том, что решетка Пикарда определяет многие геометрические свойства поверхности, включая выпуклый конус ample divisors (вплоть до автоморфизмов решетки Пикарда). Выпуклый конус определяется решеткой Пикарда следующим образом. Согласно теореме Ходжа об индексе, форма пересечения на вещественном векторном пространстве имеет сигнатуру. Из этого следует, что множество элементов с положительным самопересечением имеет две связные компоненты. Назовем положительным конусом компоненту, содержащую любой ample divisor на X. Случай 1: Не существует элемента u из Pic(X) с Тогда ample cone равен положительному конусу. Следовательно, это стандартный круглый конус. Случай 2: В противном случае, пусть , множество корней решетки Пикарда. Ортогональные дополнения к корням образуют набор гиперплоскостей, все из которых проходят через положительный конус. Тогда ample cone является связной компонентой дополнения этих гиперплоскостей в положительном конусе. Любые две такие компоненты изоморфны посредством ортогональной группы решетки Pic(X), поскольку она содержит отражение относительно каждой корневой гиперплоскости. В этом смысле решетка Пикарда определяет ample cone с точностью до изоморфизма. Связанное утверждение, принадлежащее Шандору Ковачу, состоит в том, что знание одного ample divisor A в Pic(X) определяет весь конус кривых X. А именно, предположим, что X имеет пикарову число. Если множество корней пусто, то замкнутый конус кривых является замыканием положительного конуса. В противном случае, замкнутый конус кривых — это замкнутый выпуклый конус, порожденный всеми элементами с В первом случае X не содержит кривых (−2); во втором случае замкнутый конус кривых — это замкнутый выпуклый конус, порожденный всеми кривыми (−2). (Если , существует еще одна возможность: конус кривых может быть порожден одной кривой (−2) и одной кривой с самопересечением 0.) Таким образом, конус кривых либо является стандартным круглым конусом, либо имеет "острые углы" (поскольку каждая кривая (−2) порождает изолированный экстремальный луч конуса кривых).

Группа автоморфизма

Поверхности K3 несколько необычны среди алгебраических многообразий в том, что их группы автоморфизмов могут быть бесконечными, дискретными и сильно неабелевыми. По одной из версий теоремы Торелли, решетка Пикара комплексной алгебраической поверхности K3 X определяет группу автоморфизмов X с точностью до соизмеримости. А именно, пусть группа Вейля W будет подгруппой ортогональной группы O(Pic(X)), порожденной отражениями относительно множества корней. Тогда W является нормальной подгруппой O(Pic(X)), и группа автоморфизмов X соизмерима с факторгруппой O(Pic(X))/W. Связанное утверждение, принадлежащее Гансу Стерку, заключается в том, что Aut(X) действует на nef-конус X с рациональной полиэдрической фундаментальной областью.

Отношение к дуальности струн

Поверхности K3 почти повсеместно встречаются в дуальности струн и служат важным инструментом для её понимания. Компактификация струн на этих поверхностях нетривиальна, но они достаточно просты для детального анализа большинства их свойств. Строки типов IIA и IIB, гетеротическая строка E8×E8, гетеротическая строка Spin(32)/Z2 и M-теория связаны между собой компактификацией на поверхности K3. Например, строка типа IIA, компактифицированная на поверхности K3, эквивалентна гетеротической строке, компактифицированной на 4-торе.

История

Квартические поверхности изучались Эрнстом Куммером, Артуром Кейли, Фридрихом Шуром и другими геометрами XIX века. В более общем виде, Федериго Энрикес заметил в 1893 году, что для различных чисел g существуют поверхности степени 2g−2 с тривиальным каноническим расслоением и нулевой иррегулярностью. В 1909 году Энрике показал, что такие поверхности существуют для всех g, а Франческо Севери показал, что модульное пространство таких поверхностей имеет размерность 19 для каждого g.

Андре дал поверхностям K3 их название (см. цитату выше) и выдвинул несколько влиятельных гипотез об их классификации. Куньихико Кодайра завершил базовую теорию около 1960 года, в частности, проведя первое систематическое исследование комплексно-аналитических поверхностей K3, которые не являются алгебраическими. Он показал, что любые две комплексно-аналитические поверхности K3 деформационно эквивалентны и, следовательно, диффеоморфны, что было новым даже для алгебраических поверхностей K3. Важным последующим достижением стало доказательство теоремы Торелли для комплексно-алгебраических поверхностей K3 Ильей Пиатецким-Шапиро и Игорем Шафаревичем (1971), расширенное на комплексно-аналитические поверхности K3 Дэниелом Бернсом и Майклом Рапопортом (1975).