Введение
На топологических пространствах, где пересечение счётного числа плотных открытых множеств является плотным, теорема о категории Бейра (BCT) является важным результатом в общей топологии и функциональном анализе. Теорема имеет две формулировки, каждая из которых предоставляет достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство являлось пространством Бейра (топологическое пространство, в котором пересечение счётного числа плотных открытых множеств остаётся плотным). Она используется в доказательстве результатов во многих областях анализа и геометрии, включая некоторые фундаментальные теоремы функционального анализа. Версии теоремы о категории Бейра были впервые независимо доказаны в 1897 году Осгудом для вещественной прямой и в 1899 году Байером для евклидова пространства. Более общая формулировка для полных метрических пространств была впервые установлена Хаусдорфом в 1914 году.
The Baire category theorem (BCT) is an important result in general topology and functional analysis. The theorem has two forms, each of which gives sufficient conditions for a topological space to be a Baire space (a topological space such that the intersection of countably many dense open sets is still dense). It is used in the proof of results in many areas of analysis and geometry, including some of the fundamental theorems of functional analysis. Versions of the Baire category theorem were first proved independently in 1897 by Osgood for the real line and in 1899 by Baire for Euclidean space The more general statement for completely metrizable spaces was first shown by Hausdorff in 1914.
Заявление
Пространство Байра — это топологическое пространство, в котором каждое счётное пересечение открытых плотных множеств плотно. Список эквивалентных характеристик можно найти в соответствующей статье, поскольку некоторые из них более полезны, чем другие, в зависимости от области применения. (BCT1) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Байра. В частности, каждое полно́стью метризуемое топологическое пространство является пространством Байра. (BCT2) Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Байра. В частности, каждое локально компактное пространство Хаусдорфа является пространством Байра. Ни одно из этих утверждений не подразумевает другое напрямую, поскольку существуют полные метрические пространства, которые не являются локально компактными (например, иррациональные числа с метрикой, определённой ниже, или любое пространство Банаха бесконечной размерности), и существуют локально компактные пространства Хаусдорфа, которые не являются метризуемыми (например, любое несчётное произведение нетривиальных компактных пространств Хаусдорфа, а также некоторые функциональные пространства, используемые в функциональном анализе, и несчётное пространство Форта). Подробности см. в работах Steen и Seebach, указанных в списке литературы.
Отношение к аксиоме выбора
Доказательство BCT1 для произвольных полных метрических пространств требует некоторой формы аксиомы выбора; и, фактически, BCT1 эквивалентен в системе ZF аксиоме зависимого выбора, являющейся слабой формой аксиомы выбора. Ограниченная форма теоремы о категории Бейра, в которой полное метрическое пространство также предполагается разделяемым, доказуема в ZF без дополнительных принципов выбора. Эта ограниченная форма применима, в частности, к вещественной прямой, пространству Байра, пространству Кантора и разделяемому пространству Гильберта, такому как пространство .