Классификация АДЕ: Связи и соответствия в математике и физике.

Введение

В математике классификация ADE (первоначально классификации ADE) — это ситуация, когда определенные типы объектов соответствуют диаграммам Динкина с простыми связями. Вопрос о нахождении общего источника этих классификаций, а не о последующей проверке параллелизма, был поставлен в Полный перечень диаграмм Динкина с простыми связями включает в себя. Здесь "с простыми связями" означает, что нет кратных ребер, что соответствует тому, что все простые корни в корневой системе образуют углы в 90° (нет ребра между вершинами) или 135° (одно ребро между вершинами). Это два из четырех семейств диаграмм Динкина (исключая и ), и три из пяти исключительных диаграмм Динкина (исключая и ). Этот список не содержит избыточности, если принять за . Если расширить семейства, включив избыточные элементы, то получатся исключительные изоморфизмы

и соответствующие изоморфизмы классифицированных объектов. Номенклатура A, D, E также определяет конечные коксетерские группы с простыми связями, используя те же диаграммы: в этом случае диаграммы Динкина точно совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных ребер.

Другие классификации

Элементарные катастрофы также классифицируются согласно классификации ADE. Диаграммы ADE являются как раз quiver-ами конечного типа, согласно теореме Габриэля. Существует также связь с обобщенными четырехугольниками, поскольку три невырожденных четырехугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют трем исключительным корневым системам E6, E7 и E8. Классы A и D соответствуют вырожденным случаям, когда множество прямых пусто или все прямые проходят через фиксированную точку, соответственно. Между этими объектами существуют глубокие связи, на которые указывает классификация; некоторые из этих связей можно понять с помощью теории струн и квантовой механики. Было предположено, что симметрии небольших кластеров капель могут подчиняться классификации ADE. Минимальные модели двухмерной конформной теории поля имеют классификацию ADE. Четырехмерные суперконформные калибровочные quiver-теории с унитарными группами калибровки имеют классификацию ADE.

Троицы

Арнольд расширил это под рубрикой "математические троицы". Маккей расширил свою переписку по параллельным и иногда перекрывающимся направлениям. Арнольд называет эти "троицы", чтобы вызвать ассоциации с религией, и предполагает, что (в настоящее время) эти параллели опираются скорее на веру, чем на строгое доказательство, хотя некоторые параллели разрабатываются. Другие авторы также предлагали дополнительные троицы. Троицы Арнольда начинаются с R/C/H (действительных, комплексных чисел и кватернионов), которые, по его словам, "всем известны", и далее он представляет другие троицы как "комплексификации" и "кватернификации" классической (действительной) математики, по аналогии с поиском симплектических аналогов классической римановой геометрии, которые он ранее предложил в 1970-х годах. Помимо примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три платонических симметрии (тетраэдрическую, октаэдрическую, икосаэдрическую) как соответствующие действительным, комплексным и кватернионным числам, что, в свою очередь, связано с более алгебраическими соответствиями Маккея, представленными ниже. Соответствия Маккея легче описать. Во-первых, расширенные диаграммы Динкина (соответствующие тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрии) имеют группы симметрии соответственно, а соответствующие им сворачивания образуют диаграммы (стоит отметить, что в менее строгих текстах расширенный (тильдовый) квалификатор часто опускается). Более существенно, Маккей предполагает соответствие между узлами диаграммы и некоторыми классами сопряженности группы монстров, известное как наблюдение Маккея E8; см. также "монстрозное лунное сияние". Маккей далее связывает узлы с классами сопряженности в 2.B (расширении 2-го порядка группы "малыш-монстр") и узлы с классами сопряженности в 3.Fi24' (расширении группы Фишера 3-го порядка), что рассматривается как "соответствие Маккея". Эти группы являются единственными (простыми) значениями p, для которых PSL(2,p) действует нетривиально на p точках, факт, восходящий к Эваристу Галуа в 1830-х годах. Фактически, эти группы разлагаются на произведения множеств (а не групп) следующим образом: и Эти группы также связаны с различными геометриями, что восходит к Феликсу Клейну в 1870-х годах; см. "Икосаэдрическая симметрия: связанные геометрии" для исторического обзора и для более современной экспозиции. Связанные геометрии (разбиения на Римановых поверхностях), в которых можно наблюдать действие на p точках, следующие: PSL(2,5) – симметрии икосаэдра (род 0) с соединением пяти тетраэдров в виде множества из 5 элементов, PSL(2,7) – симметрии квартики Клейна (род 3) с встроенной (дополнительной) плоскостью Фано в виде множества из 7 элементов (биплан 2-го порядка) и PSL(2,11) – симметрии поверхности бакминстерфуллерена (род 70) со встроенной бипланой Пейли в виде множества из 11 элементов (биплан 3-го порядка). Из них икосаэдр известен с античности, квартика Клейна – работа Клейна 1870-х годов, а поверхность бакминстерфуллерена – работа Пабло Мартина и Дэвида Сингермана 2008 года. Алгебро-геометрически Маккей также связывает E6, E7, E8 соответственно с: 27 прямыми на кубической поверхности, 28 битангентами плоской квартичной кривой и 120 тритангентными плоскостями канонической секстичной кривой рода 4. Первая из них хорошо известна, а вторая связана следующим образом: проецирование кубики из любой точки, не лежащей на прямой, дает двойное накрытие плоскости, ветвящееся вдоль квартичной кривой, при этом 27 прямых отображаются в 27 из 28 битангент, а 28-я прямая является образом исключительной кривой при взрыве. Обратите внимание, что фундаментальные представления E6, E7, E8 имеют размерности 27, 56 (28·2) и 248 (120+128), в то время как число корней равно 27+45 = 72, 56+70 = 126 и 112+128 = 240. Это также должно соответствовать схеме связи E8, E7, E6 с тремя крупнейшими из спорадических простых групп – группой монстров, "малыш-монстром" и группой Фишера 24', см. "монстрозное лунное сияние".

Arnold extended this further under the rubric of "mathematical trinities". McKay has extended his correspondence along parallel and sometimes overlapping lines. Arnold terms these "trinities" to evoke religion, and suggest that (currently) these parallels rely more on faith than on rigorous proof, though some parallels are elaborated. Further trinities have been suggested by other authors. Arnold's trinities begin with R/C/H (the real numbers, complex numbers, and quaternions), which he remarks "everyone knows", and proceeds to imagine the other trinities as "complexifications" and "quaternionifications" of classical (real) mathematics, by analogy with finding symplectic analogs of classic Riemannian geometry, which he had previously proposed in the 1970s. In addition to examples from differential topology (such as characteristic classes), Arnold considers the three Platonic symmetries (tetrahedral, octahedral, icosahedral) as corresponding to the reals, complexes, and quaternions, which then connects with McKay's more algebraic correspondences, below. McKay's correspondences are easier to describe. Firstly, the extended Dynkin diagrams (corresponding to tetrahedral, octahedral, and icosahedral symmetry) have symmetry groups respectively, and the associated foldings are the diagrams (note that in less careful writing, the extended (tilde) qualifier is often omitted). More significantly, McKay suggests a correspondence between the nodes of the diagram and certain conjugacy classes of the monster group, which is known as McKay's E8 observation; see also monstrous moonshine. McKay further relates the nodes of to conjugacy classes in 2. B (an order 2 extension of the baby monster group), and the nodes of to conjugacy classes in 3. Fi24' (an order 3 extension of the Fischer group) which is deemed a "McKay correspondence". These groups are the only (simple) values for p such that PSL(2,p) acts non trivially on p points, a fact dating back to Évariste Galois in the 1830s. In fact, the groups decompose as products of sets (not as products of groups) as: and These groups also are related to various geometries, which dates to Felix Klein in the 1870s; see icosahedral symmetry: related geometries for historical discussion and for more recent exposition. Associated geometries (tilings on Riemann surfaces) in which the action on p points can be seen are as follows: PSL(2,5) is the symmetries of the icosahedron (genus 0) with the compound of five tetrahedra as a 5 element set, PSL(2,7) of the Klein quartic (genus 3) with an embedded (complementary) Fano plane as a 7 element set (order 2 biplane), and PSL(2,11) the buckminsterfullerene surface (genus 70) with embedded Paley biplane as an 11 element set (order 3 biplane). Of these, the icosahedron dates to antiquity, the Klein quartic to Klein in the 1870s, and the buckyball surface to Pablo Martin and David Singerman in 2008. Algebro geometrically, McKay also associates E6, E7, E8 respectively with: the 27 lines on a cubic surface, the 28 bitangents of a plane quartic curve, and the 120 tritangent planes of a canonic sextic curve of genus 4. The first of these is well known, while the second is connected as follows: projecting the cubic from any point not on a line yields a double cover of the plane, branched along a quartic curve, with the 27 lines mapping to 27 of the 28 bitangents, and the 28th line is the image of the exceptional curve of the blowup. Note that the fundamental representations of E6, E7, E8 have dimensions 27, 56 (28·2), and 248 (120+128), while the number of roots is 27+45 = 72, 56+70 = 126, and 112+128 = 240. This should also fit into the scheme of relating E8,7,6 with the largest three of the sporadic simple groups, Monster, Baby and Fischer 24', cf. monstrous moonshine.