Введение

В математической области теории групп, передача определяет, при наличии группы G и подгруппы H конечного индекса, групповой гомоморфизм из G в абелеву фактогруппу H. Её можно использовать совместно с теоремами Силова для получения определенных численных результатов о существовании конечных простых групп. Передача была определена и повторно открыта. Пусть [G:H] = n и выберем представителей косетов, например, для H в G, так что G можно представить как непересекающееся объединение.

Для любого y из G, каждый элемент yxi принадлежит некоторому косету xjH и, следовательно,

для некоторого индекса j и некоторого элемента hi из H.

Значение передачи для y определяется как образ произведения

в H/H′, где H′ – коммутаторная подгруппа H. Порядок сомножителей несущественен, поскольку H/H′ является абелевой. Легко показать, что хотя каждый hi зависит от выбора представителей косетов, значение передачи не зависит от этого выбора. Также легко показать, что отображение, определенное таким образом, является гомоморфизмом.

Пример

Если G циклическая, то перенос отображает любой элемент y из G в y[G:H]. Простой пример можно увидеть в лемме Гаусса о квадратичных вычетах, которая по сути вычисляет перенос для мультипликативной группы ненулевых классов вычетов по модулю простого числа p относительно подгруппы {1, −1}. Перенос также встречается в алгебраической топологии, где он определяется между классифицирующими пространствами групп.

Терминология

Термин "перенос имени" является переводом немецкого Verlagerung, введенного Гельмутом Хассе.

Подгруппа коммутаторов

Если G конечно порождена, то коммутаторная подгруппа G′ группы G имеет конечный индекс в G, и если H=G′, то соответствующее отображение переноса тривиально. Иными словами, это отображение переводит G в 0 в абелианизации G′. Это важно при доказательстве теоремы об основном идеале в теории полей классов. См. конспект лекций Эмиля Артина и Джона Тейта по теории полей классов.