Введение
Изометрическая группа евклидова пространства
В математике, евклидова группа — это группа (евклидовых) изометрий евклидова пространства, то есть преобразования этого пространства, сохраняющие евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемые евклидовыми преобразованиями). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E(n) или ISO(n). Евклидова группа E(n) включает все сдвиги, вращения и отражения пространства, а также любые конечные комбинации этих преобразований. Евклидову группу можно рассматривать как группу симметрий самого пространства, и она содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства. Евклидова изометрия может быть прямая или непрямая, в зависимости от того, сохраняет ли она ориентацию фигур. Прямые евклидовые изометрии образуют подгруппу, специальную евклидову группу, часто обозначаемую SE(n) и E+(n), элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они включают любые комбинации сдвигов и вращений, но не отражения. Эти группы являются одними из самых старых и наиболее изученных, по крайней мере в случаях размерности 2 и 3 – неявно, задолго до того, как была изобретена концепция группы.
In mathematics, a Euclidean group is the group of (Euclidean) isometries of a Euclidean space ; that is, the transformations of that space that preserve the Euclidean distance between any two points (also called Euclidean transformations). The group depends only on the dimension n of the space, and is commonly denoted E(n) or ISO(n). The Euclidean group E(n) comprises all translations, rotations, and reflections of ; and arbitrary finite combinations of them. The Euclidean group can be seen as the symmetry group of the space itself, and contains the group of symmetries of any figure (subset) of that space. A Euclidean isometry can be direct or indirect, depending on whether it preserves the handedness of figures. The direct Euclidean isometries form a subgroup, the special Euclidean group, often denoted SE(n) and E+(n), whose elements are called rigid motions or Euclidean motions. They comprise arbitrary combinations of translations and rotations, but not reflections. These groups are among the oldest and most studied, at least in the cases of dimension 2 and 3 – implicitly, long before the concept of group was invented.
Размерность
Число степеней свободы для E(n) равно n(n + 1)/2, что дает 3 в случае n = 2, и 6 для n = 3. Из них n можно отнести к доступной трансляционной симметрии, а оставшиеся n(n − 1)/2 – к вращательной симметрии.
Прямые и косвенные изометрии
Прямые изометрии (то есть изометрии, сохраняющие ориентацию хиральных подмножеств) образуют подгруппу группы E(n), называемую специальной евклидовой группой и обычно обозначаемую E+(n) или SE(n). Они включают в себя сдвиги и вращения, а также их комбинации, включая тождественное преобразование, но исключая любые отражения. Изометрии, меняющие ориентацию, называются косвенными или обратными. Для любой фиксированной косвенной изометрии R, например, отражения относительно некоторой гиперплоскости, любая другая косвенная изометрия может быть получена композицией R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, косвенные изометрии образуют косет E+(n), который можно обозначить E−(n). Отсюда следует, что подгруппа E+(n) имеет индекс 2 в E(n).
Топология группы
Естественная топология евклидова пространства определяет топологию для евклидовой группы E(n). А именно, последовательность изометрий fᵢ определяется как сходящаяся, если и только если для любой точки p из пространства, последовательность точек fᵢ(p) сходится. Из этого определения следует, что функция f непрерывна, если и только если для любой точки p из пространства, функция, определенная как fp(t) = f(t)(p), непрерывна. Такая функция называется "непрерывной траекторией" в E(n). Оказывается, что специальная евклидова группа SE(n) = E+(n) связна в этой топологии. То есть, для любых двух прямых изометрий A и B, существует непрерывная траектория f в E+(n) такая, что f(0) = A и f(1) = B. То же самое верно для косвенных изометрий E−(n). С другой стороны, группа E(n) в целом не связна: не существует непрерывной траектории, которая начинается в E+(n) и заканчивается в E−(n). Непрерывные траектории в E(3) играют важную роль в классической механике, поскольку они описывают физически возможные движения жесткого тела в трехмерном пространстве с течением времени. Принимается, что f(0) является тождественным преобразованием I, описывающим начальное положение тела. Положение и ориентация тела в любой последующий момент времени t будут описаны преобразованием f(t). Поскольку f(0) = I принадлежит E+(3), то же самое должно быть верно для f(t) для любого последующего времени. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называются "жесткими движениями".
Структура лежа
Евклидовы группы — это не только топологические группы, но и группы Ли, что позволяет немедленно применить к ним методы дифференциального и интегрального исчисления.