Введение

В математике, размерность кольца. В коммутативной алгебре, размерность Крулла коммутативного кольца R, названная в честь Вольфганга Крулла, является супремумом длин всех цепочек простых идеалов. Размерность Крулла не обязательно является конечной даже для нётерова кольца. В более общем смысле, размерность Крулла может быть определена для модулей над, возможно, некоммутативными кольцами как отклонение полурешётки подмодулей. Размерность Крулла была введена для предоставления алгебраического определения размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного многообразия, заданного идеалом I в полиномиальном кольце R, равна размерности Крулла R/I. Поле k имеет размерность Крулла 0; в более общем случае, k[x1, ..., xn] имеет размерность Крулла n. Область главных идеалов, которая не является полем, имеет размерность Крулла 1. Локальное кольцо имеет размерность Крулла 0 тогда и только тогда, когда каждый элемент его максимального идеала нильпотентен. Существует несколько других способов определения размерности кольца. Большинство из них совпадают с размерностью Крулла для нётеровых колец, но могут различаться для ненётеровых колец.

Схемы

Из определения спектра кольца Spec(R), пространства простых идеалов R, снабженного топологией Зариски, непосредственно следует, что размерность Крулла кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, то есть супремуму длин всех цепочек неразложимых замкнутых подмножеств. Это вытекает непосредственно из связи Галуа между идеалами R и замкнутыми подмножествами Spec(R) и из того факта, что по определению Spec(R) каждый простой идеал R соответствует обобщенной точке замкнутого подмножества, связанного с ним посредством связи Галуа.

Примеры

Размер многочленного кольца над полем k[x1, …, xn] равен числу переменных n. На языке алгебраической геометрии это означает, что аффинное пространство размерности n над полем имеет размерность n, как и ожидалось. В общем случае, если R — кольцо Ноэтера размерности n, то размерность R[x] равна n + 1. Если отказаться от гипотезы Ноэтера, то размерность R[x] может быть любой между n + 1 и 2n + 1. Например, идеал имеет высоту 2, поскольку можно построить максимальную возрастающую цепь простых идеалов. Для неразложимого многочлена идеал не является простым (поскольку ни один из множителей не является простым), но мы можем легко вычислить высоту, так как наименьший простой идеал, содержащий , это . Целочисленное кольцо Z имеет размерность 1. В более общем случае, любая основная идеальная область, не являющаяся полем, имеет размерность 1. Интегральная область является полем тогда и только тогда, когда её размерность Крулла равна нулю. Области Дедекинда, не являющиеся полями (например, кольца дискретного нормирования), имеют размерность один. Размерность Крулла нулевого кольца обычно определяется как 0 или -∞. Нулевое кольцо — единственное кольцо с отрицательной размерностью. Кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда оно ноэтерианское и его размерность Крулла ≤ 0. Неотъемлемое расширение кольца имеет ту же размерность, что и само кольцо. Пусть R — алгебра над полем k, которое является интегральной областью. Тогда размерность Крулла R меньше или равна степени трансцендентности поля частных R над k. Равенство выполняется, если R конечно порождена как алгебра (например, леммой нормализации Ноэтера). Пусть R — ноэтерианское кольцо, I — идеал, а — ассоциированное градуированное кольцо (геометры называют его кольцом нормального конуса I). Тогда — супремум высот максимальных идеалов R, содержащих I. Коммутативное ноэтерианское кольцо нулевой размерности Крулла является прямым произведением конечного числа (возможно, одного) локальных колец нулевой размерности Крулла. Ноэтерианское локальное кольцо называется кольцом Коэна — Маколея, если его размерность равна его глубине. Регулярное локальное кольцо является примером такого кольца. Ноэтерианская интегральная область является областью однозначной факторизации тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным. Для коммутативного ноэтерианского кольца эквивалентны три следующих условия: быть редуцированным кольцом нулевой размерности Крулла, быть полем или прямым произведением полей, быть регулярным по фон Нейману.

Модуля

Если R — коммутативное кольцо, а M — R-модуль, то размерность Крулла M определяется как размерность Крулла факторкольца R, при котором M является верным модулем. То есть, мы определяем её по формуле: где AnnR(M), аннигилятор, является ядром естественного отображения R → EndR(M) из R в кольцо R-линейных эндоморфизмов M. На языке схем, конечно порожденные модули интерпретируются как когерентные пучки или обобщенные векторные расслоения конечного ранга.

Для некоммутативных колец

Размер Крулла модуля над возможно некоммутативным кольцом определяется как длина цепочки подмодулей, упорядоченных по включению. Для коммутативных ноэтерианских колец это совпадает с определением, использующим цепочки простых идеалов. Эти два определения могут различаться для коммутативных неноэтерианских колец.