Введение

В математике универсальная C*-алгебра — это C*-алгебра, заданная генераторами и соотношениями. В отличие от колец или алгебр, где можно строить универсальные объекты, рассматривая фактор-алгебры по свободным алгебрам, C*-алгебры должны быть представимы как алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве посредством конструкции Гельфанд — Наймарка — Сегала, а соотношения должны задавать равномерную границу на норму каждого генератора. Это означает, что в зависимости от выбранных генераторов и соотношений универсальная C*-алгебра может не существовать. В частности, свободных C*-алгебр не существует.

Альтернативный подход

В качестве альтернативы можно использовать более конкретную характеристику универсальных C*-алгебр, которая ближе к построению в абстрактной алгебре. К сожалению, это ограничивает типы допустимых соотношений. Для заданного множества G, соотношением на G является множество R, состоящее из пар (p, η), где p – полином на X, а η – неотрицательное вещественное число. Представление пары (G, R) на гильбертовом пространстве H – это функция ρ, отображающая X в алгебру ограниченных операторов на H, такая что для всех (p, η) из R выполняется условие . Пара (G, R) называется допустимой, если существует представление, и прямая сумма представлений также является представлением. Тогда величина является конечной и определяет семинорму, удовлетворяющую условию C*-нормы на свободной алгебре над X. Завершение фактор-алгебры свободной алгебры по идеалу называется универсальной C*-алгеброй, соответствующей (G, R).

Примеры

Некоммутативный тор может быть определен как универсальная C*-алгебра, порожденная двумя унитарными операторами с соотношением перестановочности. Алгебры Кунца, алгебры графов C* и алгебры k-графов C* являются универсальными C*-алгебрами, порожденными частичными изометриями. Универсальная C*-алгебра, порожденная унитарным элементом u, имеет представление. Посредством непрерывного функционального исчисления, эта C*-алгебра является алгеброй непрерывных функций на единичной окружности в комплексной плоскости. Любая C*-алгебра, порожденная унитарным элементом, изоморфна фактор-алгебре этой универсальной C*-алгебры.