Введение

В математике, замкнутое многообразие — это многообразие без границы, являющееся компактным. В отличие от него, открытое многообразие — это многообразие без границы, имеющее только некомпактные компоненты.

Примеры

Единственный связный одномерный пример — это окружность. Сфера, тор и бутылка Клейна — все это замкнутые двумерные многообразия. Реальное проективное пространство RPn является замкнутым n-мерным многообразием. Комплексное проективное пространство CPn является замкнутым 2n-мерным многообразием. Прямая не является замкнутой, потому что она не компактна. Закрытый диск — это компактное двумерное многообразие, но оно не является замкнутым, потому что имеет границу.

Свойства

Каждое замкнутое многообразие является Евклидовым отступлением окрестности и, следовательно, имеет конечно порожденные группы гомологии. Если M – замкнутое связное n-многообразие, то n-я группа гомологии Hn(M) изоморфна либо Z, либо 0, в зависимости от того, ориентируемо M или нет. Более того, торсионная подгруппа (n-1)-й группы гомологии Hn-1(M) равна 0 или Z, в зависимости от того, ориентируемо M или нет. Это следует из применения теоремы об универсальных коэффициентах. Пусть R – коммутативное кольцо. Для ориентируемого многообразия M с фундаментальным классом [M], отображение H^k(M; R) → Hn-k(M; R), определенное как [x] ↦ [x ∩ [M]], является изоморфизмом для всех k. Это – двойственность Пуанкаре. В частности, каждое замкнутое многообразие ориентируемо. Следовательно, всегда существует изоморфизм H^k(M; R) ≅ Hn-k(M; R).

Открытые коллекторы

Для связного многообразия "открытый" эквивалентен "без границы и некомпактный", но для несвязного многообразия "открытый" является более сильным условием. Например, дизъюнктное объединение окружности и прямой некомпактно, поскольку прямая некомпактна, но это не открытое многообразие, поскольку окружность (одна из его компонент) компактна.

Злоупотребление языком

Большинство книг обычно определяют многообразие как пространство, локально гомеоморфное евклидову пространству (вместе с некоторыми другими техническими условиями). Таким образом, согласно этому определению, многообразие не включает свою границу, когда оно вложено в большее пространство. Однако это определение не охватывает некоторые базовые объекты, такие как замкнутый диск, поэтому авторы иногда определяют многообразие с границей и неточно называют многообразием, не упоминая о границе. Но обычно компактное многообразие (компактное относительно своей базовой топологии) может использоваться как синоним замкнутого многообразия, если используется стандартное определение многообразия. Понятие замкнутого многообразия не связано с понятием замкнутого множества. Прямая является замкнутым подмножеством плоскости и многообразием, но не замкнутым многообразием.

Применение в физике

Понятие "закрытой вселенной" может относиться к тому, что вселенная является замкнутым многообразием, но чаще всего подразумевает, что вселенная является многообразием с постоянной положительной кривизной Риччи.