Введение
В математике теория локальных классов полей, предложенная Гельмутом Хассе, изучает абелевы расширения локальных полей. Здесь под "локальным полем" понимается поле, являющееся полным относительно абсолютной величины или дискретного нормирования с конечным полем вычетов. Следовательно, каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) к вещественным числам R, комплексным числам C, конечному расширению p-адических чисел Qp (где p – любое простое число) или полю формальных рядов Лорана Fq((T)) над конечным полем Fq.
Подходы к теории поля местных классов
Теория локальных классов дает описание группы Галуа G максимального абелева расширения локального поля K посредством карты взаимности, действующей из мультипликативной группы K× = K\{0}. Для конечного абелева расширения L поля K карта взаимности индуцирует изоморфизм факторгруппы K×/N(L×) группы K× по группе норм N(L×) расширения L× в группу Галуа Gal(L/K) этого расширения. Теорема существования в теории локальных классов поля устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K× и конечными абелевыми расширениями поля K. Для конечного абелева расширения L поля K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является группой норм N(L×). Карта взаимности отображает высшие группы единиц в высшие подгруппы ветвления, см., например, гл. IV. Используя локальную карту взаимности, можно определить символ Гильберта и его обобщения. Поиск явных формул для него является одним из направлений теории локальных полей, она имеет долгую и богатую историю, см., например, обзор Сергея Востокова. Существуют кохомологические и некохомологические подходы к теории локальных классов поля. Кохомологические подходы, как правило, не являются явными, поскольку они используют чашечное произведение первых когомологических групп Галуа. Различные подходы к теории локальных классов поля см. в гл. IV и секции 7 гл. IV. Они включают подход Хассе с использованием группы Брауэра, кохомологические подходы, явные методы Юргена Нейкирха, Михеля Хазевинкеля, теорию Любина — Тата и другие.
of the extension. The existence theorem in local class field theory establishes a one to one correspondence between open subgroups of finite index in the multiplicative group K× and finite abelian extensions of the field K. For a finite abelian extension L of K the corresponding open subgroup of finite index is the norm group N(L×). The reciprocity map sends higher groups of units to higher ramification subgroups, see e. g. Ch. IV of. Using the local reciprocity map, one defines the Hilbert symbol and its generalizations. Finding explicit formulas for it is one of subdirections of the theory of local fields, it has a long and rich history, see e. g. Sergei Vostokov's review. There are cohomological approaches and non cohomological approaches to local class field theory. Cohomological approaches tend to be non explicit, since they use the cup product of the first Galois cohomology groups. For various approaches to local class field theory see Ch. IV and sect. 7 Ch. IV of They include the Hasse approach of using the Brauer group, cohomological approaches, the explicit methods of Jürgen Neukirch, Michiel Hazewinkel, the Lubin Tate theory and others.
Обобщения теории поля местных классов
Обобщения теории локальных классов полей на локальные поля с квазиконечными полями вычетов были простыми расширениями теории, полученными Г. Уэплсом в 1950-х годах, см. главу V. Явная теория поля p-классов для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна учитывать новую проблему групп норм бесконечного индекса. Соответствующие теории были построены Иваном Фесенко. Некоммутативная теория локальных классов полей Фесенко для арифметически проконечных расширений Галуа локальных полей изучает соответствующее локальное отображение коцикла взаимности и его свойства. Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу теоретико-представительной локальной корреспонденции Лэнгленда.
Высшая теория поля местного класса
Для локального поля более высокой размерности существует карта взаимности более высокого порядка, которая описывает абелевы расширения поля в терминах открытых подгрупп конечного индекса в группе Милнора K поля. А именно, если это n-мерное локальное поле, то используется оно само или его сепарированный фактор, наделенный подходящей топологией. При n=1 теория переходит в обычную теорию локальных классов полей. В отличие от классического случая, группы Милнора K не удовлетворяют свойству спускаемости как модули Галуа. Общая теория поля классов более высокой размерности была разработана К. Като и И. Фесенко. Высшая локальная теория поля классов является частью общей теории поля классов, которая изучает абелевы расширения (соответственно, абелевы накрытия) полей рациональных функций правильных регулярных схем, плоских над целыми числами.