Введение
В математике, меандр или замкнутый меандр — это самонепересекающаяся замкнутая кривая, пересекающая заданную прямую конечное число раз, то есть пересекающая прямую, переходя с одной её стороны на другую. Интуитивно меандр можно представить как извилистую реку, которую пересекает прямая дорога по нескольким мостам. Точки пересечения прямой и кривой, таким образом, называются "мостами".
Меандр
При заданной фиксированной прямой L в евклидовой плоскости, меандр порядка n — это самонепересекающаяся замкнутая кривая на плоскости, пересекающая прямую в 2n точках. Два меандра считаются эквивалентными, если один меандр можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя его свойство быть меандром и не меняя порядок пересечения точек (мостов) на прямой.
Меандрические пермутации
Меандрическая перестановка порядка n определяется на множестве {1, 2, ..., 2n} и определяется следующим образом: при ориентации линии слева направо, каждое пересечение меандра последовательно нумеруется целыми числами, начиная с 1. Кривая ориентирована вверх в точке пересечения, помеченной номером 1. Циклическая перестановка без неподвижных точек получается путем прослеживания ориентированной кривой через помеченные точки пересечения. На диаграмме справа приведена меандрическая перестановка порядка 4, равная (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической записи, и ее не следует путать с линейной записью. Если π является меандрической перестановкой, то π² состоит из двух циклов, один из которых содержит все четные символы, а другой – все нечетные символы. Перестановки с этим свойством называются попеременными (или альтернативными) перестановками, поскольку символы в исходной перестановке чередуются между нечетными и четными целыми числами. Однако не все попеременные перестановки являются меандрическими, поскольку не всегда возможно нарисовать их без введения самопересечения в кривую. Например, попеременная перестановка порядка 3, (1 4 3 6 5 2), не является меандрической.
With the line oriented from left to right, each intersection of the meander is consecutively labelled with the integers, starting at 1. The curve is oriented upward at the intersection labelled 1. The cyclic permutation with no fixed points is obtained by following the oriented curve through the labelled intersection points. In the diagram on the right, the order 4 meandric permutation is given by (1 8 5 4 3 6 7 2). This is a permutation written in cyclic notation and not to be confused with one line notation. If π is a meandric permutation, then π2 consists of two cycles, one containing of all the even symbols and the other all the odd symbols. Permutations with this property are called alternate permutations, since the symbols in the original permutation alternate between odd and even integers. However, not all alternate permutations are meandric because it may not be possible to draw them without introducing a self intersection in the curve. For example, the order 3 alternate permutation, (1 4 3 6 5 2), is not meandric.
Открытый меандр
Если в евклидовой плоскости задана фиксированная прямая L, то открытый меандр порядка n — это несамопересекающаяся кривая на плоскости, пересекающая прямую в n точках. Два открытых меандра считаются эквивалентными, если один из них можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя свойство быть открытым меандром и не меняя порядок пересечения мостов.
Полумеандр
При фиксированном ориентированном луче R (закрытой полулинии) в евклидовой плоскости, полумеандр порядка n — это несамопересекающаяся замкнутая кривая в плоскости, пересекающая луч в n точках. Два полумеандра считаются эквивалентными, если один из них можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя свойство быть полумеандром и не меняя порядок пересечения мостов на луче.