Введение
В математике теория деформаций — это изучение бесконечно малых условий, связанных с варьированием решения P задачи до немного отличающихся решений Pε, где ε — малое число или вектор малых величин. Бесконечно малые условия являются результатом применения методов дифференциального исчисления к решению задачи с ограничениями. Название является аналогией нежестким структурам, которые незначительно деформируются под воздействием внешних сил. К характерным явлениям относятся: вывод уравнений первого порядка, рассматривающих величины ε как пренебрежимо малые в квадрате; возможность существования изолированных решений, при которых варьирование решения может быть невозможно или не приводить к новым результатам; и вопрос о том, действительно ли бесконечно малые ограничения "интегрируемы", то есть их решение обеспечивает малые вариации. В той или иной форме эти соображения имеют многовековую историю в математике, физике и инженерии. Например, в геометрии чисел был известен класс результатов, называемых теоремами об изоляции, с топологической интерпретацией открытой орбиты (действия группы) вокруг данного решения. Теория возмущений также изучает деформации, как правило, операторов.
In mathematics, deformation theory is the study of infinitesimal conditions associated with varying a solution P of a problem to slightly different solutions Pε, where ε is a small number, or a vector of small quantities. The infinitesimal conditions are the result of applying the approach of differential calculus to solving a problem with constraints. The name is an analogy to non rigid structures that deform slightly to accommodate external forces. Some characteristic phenomena are: the derivation of first order equations by treating the ε quantities as having negligible squares; the possibility of isolated solutions, in that varying a solution may not be possible, or does not bring anything new; and the question of whether the infinitesimal constraints actually 'integrate', so that their solution does provide small variations. In some form these considerations have a history of centuries in mathematics, but also in physics and engineering. For example, in the geometry of numbers a class of results called isolation theorems was recognised, with the topological interpretation of an open orbit (of a group action) around a given solution. Perturbation theory also looks at deformations, in general of operators.
Деформации и плоские карты
Наиболее общая форма деформации — это плоское отображение комплексных аналитических пространств, схем или зародышей функций на пространстве. Гротендик первым обнаружил это далеко идущее обобщение для деформаций и разработал теорию в этом контексте. Основная идея заключается в том, что должна существовать универсальная семья, такая что любая деформация может быть найдена как единственное обратное отображение в виде квадрата. Во многих случаях эта универсальная семья является схемой Гильберта, схемой Квотов или частным от деления одной из них. Например, при построении модулей кривых она строится как частное от деления гладких кривых в схеме Гильберта. Если обратное отображение в виде квадрата не единственно, то семья является лишь версальной.
Деформации зародышей аналитических алгебр
Одно из полезных и легко вычисляемых направлений теории деформаций происходит из теории деформаций зародышей комплексных пространств, таких как многообразия Штайна, комплексные многообразия или комплексные аналитические многообразия. Для многообразия Фано положительной размерности Мори показал, что через каждую точку проходит рациональная кривая. Метод доказательства позднее стал известен как «изгиб и разрыв Мори». Основная идея заключается в том, чтобы начать с некоторой кривой C, проходящей через выбранную точку, и продолжать деформировать её, пока она не распадётся на несколько компонент. Замена C одной из компонент приводит к уменьшению либо рода, либо степени C. Таким образом, после нескольких повторений процедуры мы в конечном итоге получим кривую рода 0, то есть рациональную кривую. Существование и свойства деформаций C требуют аргументов из теории деформаций и сведения к характеристике, отличной от нуля.
Деформации абелевых схем
Теорема Серре-Тате утверждает, грубо говоря, что деформации абелевой схемы A контролируются деформациями p-делимой группы, состоящей из p-степенных точек кручения.
Связь с теорией струн
Так называемая гипотеза Делиня, возникшая в контексте алгебр (и когомологии Хохшильда), вызвала значительный интерес к теории деформаций в связи с теорией струн (в общих чертах, для формализации идеи о том, что теория струн можно рассматривать как деформацию теории точечных частиц). В настоящее время она считается доказанной, несмотря на некоторые сложности с первоначальными заявлениями. Максим Концевич – один из тех, кто предложил общепризнанное доказательство этой гипотезы.