Введение
Понятие в математической теории групп.
Использование термина "теория характеров" в математике.
В математике, в частности в теории групп, характер группового представления — это функция на группе, которая сопоставляет каждому элементу группы след соответствующей матрицы. Характер передает существенную информацию о представлении в более сжатом виде. Георг Фробеньис изначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах, и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно, поскольку комплексное представление конечной группы определяется (с точностью до изоморфизма) своим характером. Ситуация с представлениями над полем положительной характеристики, так называемыми "модулярными представлениями", более сложная, но Ричард Брауэр разработал мощную теорию характеров и для этого случая. Многие глубокие теоремы о структуре конечных групп используют характеры модулярных представлений.
the use of the term character theory in mathematics
In mathematics, more specifically in group theory, the character of a group representation is a function on the group that associates to each group element the trace of the corresponding matrix. The character carries the essential information about the representation in a more condensed form. Georg Frobenius initially developed representation theory of finite groups entirely based on the characters, and without any explicit matrix realization of representations themselves. This is possible because a complex representation of a finite group is determined (up to isomorphism) by its character. The situation with representations over a field of positive characteristic, so called "modular representations", is more delicate, but Richard Brauer developed a powerful theory of characters in this case as well. Many deep theorems on the structure of finite groups use characters of modular representations.
Приложения
Характеры неразложимых представлений кодируют многие важные свойства группы и, следовательно, могут быть использованы для изучения её структуры. Теория характеров является важнейшим инструментом в классификации конечных простых групп. Почти половина доказательства теоремы Фейта — Томпсона включает в себя сложные вычисления со значениями характеров. Более простые, но всё же важные результаты, использующие теорию характеров, включают теорему Бернсайда (впоследствии было найдено чисто группотеоретическое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после первоначального доказательства Бернсайда), и теорему Ричарда Брауэра и Митио Сузуки, утверждающую, что конечная простая группа не может иметь обобщённую кватернионную группу в качестве своей силовской 2-подгруппы.
Определения
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F, и пусть ρ : G → GL(V) — представление группы G на V. Характер ρ — это функция χρ : G → F, заданная выражением
где Tr — след. Характер χρ называется неприводимым или простым, если ρ — неприводимое представление. Степень характера χ равна размерности ρ; в случае характеристики ноль это равно значению χ(1). Характер степени 1 называется линейным. Если G — конечная группа и F имеет характеристику ноль, то ядро характера χρ является нормальной подгруппой:
которая совпадает с ядром представления ρ. Однако характер, вообще говоря, не является гомоморфизмом группы.
Свойства
Характеры — это классовые функции, то есть каждый из них принимает постоянное значение на заданном классе сопряжённости. Более точно, множество неприводимых характеров данной группы G в поле K образует базис векторного пространства K всех классовых функций G → K. Изоморфные представления имеют одинаковые характеры. Над полем характеристики 0 два представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же характер. Если представление является прямой суммой подпредставлений, то соответствующий характер является суммой характеров этих подпредставлений. Если характер конечной группы G ограничивается подгруппой H, то результат также является характером H. Каждое значение характера χ(g) является суммой n m-х корней из единицы, где n — степень (то есть размер ассоциированного векторного пространства) представления с характером χ, а m — порядок g. В частности, когда F = C, каждое такое значение характера является алгебраическим целым. Если F = C и χ неприводим, то χ(x) является алгебраическим целым для всех x из G. Если F алгебраически замкнуто и характеристика поля не делит порядок G, то число неприводимых характеров G равно числу классов сопряжённости G. Более того, в этом случае степени неприводимых характеров являются делителями порядка G (и они даже делят [G : Z(G)]).
Every character value χ(g) is a sum of n m th roots of unity, where n is the degree (that is, the dimension of the associated vector space) of the representation with character χ and m is the order of g. In particular, when 1=F = 'C', every such character value is an algebraic integer. If 1=F = 'C' and χ is irreducible, then is an algebraic integer for all x in G.
If F is algebraically closed and [[characteristic of a ring does not divide the order of G, then the number of irreducible characters of G is equal to the number of conjugacy classes of G. Furthermore, in this case, the degrees of the irreducible characters are divisors of the order of G (and they even divide [G : Z(G)] if ).
Размер "крученный"
Можно интерпретировать характер представления как "скрученную" размерность векторного пространства. Рассматривая характер как функцию элементов группы χ(g), его значение в единичном элементе является размерностью пространства, поскольку, соответственно, другие значения характера можно рассматривать как "скрученные" размерности. Можно найти аналоги или обобщения утверждений о размерностях к утверждениям о характерах или представлениях. Изящный пример этого встречается в теории чудовищного лунного света: j-инвариант является градуированной размерностью бесконечномерного градуированного представления группы Монстров, и замена размерности на характер дает ряд МакКей-Томпсона для каждого элемента группы Монстров. Характер (ограниченный на) можно вычислить более явно с помощью формулы характеров Вейля.