Введение
Теория кохомологий для топологических пространств
В математике, особенно в алгебраической топологии, кохомологии Александра-Спаниера — это теория кохомологий топологических пространств.
In mathematics, particularly in algebraic topology, Alexander–Spanier cohomology is a cohomology theory for topological spaces.
История
Он был введен для специального случая компактных метрических пространств, а затем расширен на все топологические пространства по предложению Александра Д. Уоллеса.
Модуль относительной кохомологии
Если является подпространством и является картой включения, то существует индуцированный эпиморфизм. Ядро является подкомплексом коцепей, который обозначается . Если обозначает подкомплекс функций, которые локально равны нулю на , то относительный модуль определяется как модуль когомологий . Этот модуль называется модулем когомологий Александра степени с коэффициентами , и он удовлетворяет всем аксиомам когомологий. Получающаяся теория когомологий называется теорией когомологий Александра (или Александра-Спанье).
The relative module is is defined to be the cohomology module of
is called the Alexander cohomology module of of degree with coefficients and this module satisfies all cohomology axioms. The resulting cohomology theory is called the Alexander (or Alexander Spanier) cohomology theory
Кохомология Александра с компактными опорами
Подмножество называется коограниченным, если оно ограничено, то есть его замыкание компактно. Подобно определению модуля когомологии Александра, можно определить модуль когомологии Александра с компактными носителями для пары, добавив условие, что он локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве. Формально это можно определить следующим образом: для заданной топологической пары подмодуль состоит из элементов, таких что локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве. Подобно модулю когомологии Александра, можно получить комплекс коцепей и комплекс коцепей. Модуль когомологии, индуцированный из комплекса коцепей, называется когомологией Александра с компактными носителями и обозначается. Индуцированный гомоморфизм этой когомологии определяется как теория когомологии Александра. В соответствии с этим определением, мы можем модифицировать аксиому гомотопии для когомологии в аксиому правильной гомотопии, если мы определяем кограничный гомоморфизм только когда является замкнутым подмножеством. Аналогично, аксиому вырезания можно модифицировать в аксиому правильного вырезания, то есть карта вырезания является правильной картой.
Formally, one can define as follows : For given topological pair , the submodule of consists of such that is locally zero on some cobounded subset of
Similar to the Alexander cohomology module, one can get a cochain complex and a cochain complex
The cohomology module induced from the cochain complex is called the Alexander cohomology of with compact supports and denoted by Induced homomorphism of this cohomology is defined as the Alexander cohomology theory. Under this definition, we can modify homotopy axiom for cohomology to a proper homotopy axiom if we define a coboundary homomorphism only when is a closed subset. Similarly, excision axiom can be modified to proper excision axiom i. e. the excision map is a proper map.
Пример
как Следовательно, если , и не имеют одинакового типа гомотопии.
Отличие от сингулярной теории кохомологии
Напомним, что модуль сингулярной кохомологии пространства является прямым произведением модулей сингулярной кохомологии его связных компонент. Непустое пространство связно, если и только если Следовательно, для любого связного пространства, не являющегося путем-связным, сингулярная и кохомологии Александра различаются в нулевой степени. Если – открытое покрытие пространства попарно непересекающимися множествами, то существует естественный изоморфизм. В частности, если – семейство связных компонент локально связного пространства , то существует естественный изоморфизм.
Варианты
Также можно определить гомологию Александра-Спаниера и когомологию Александра-Спаниера с компактными носителями.
Связь с другими кохомологиями
Кохомологические группы Александра-Спаниера совпадают с группами когомологий Чеха для компактных хаусдорфовых пространств и с группами сингулярных когомологий для локально конечных комплексов.