Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Свойство объектов, которые остаются неизменными после частичного поворота.
Property of objects which appear unchanged after a partial rotation
Ротационная симметрия, также известная как радиальная симметрия в геометрии, — это свойство фигуры, при котором она выглядит одинаково после поворота на определенный угол. Степень ротационной симметрии объекта определяется количеством различных положений, в которых он выглядит идентично после каждого поворота. Некоторые геометрические объекты обладают частичной симметрией при вращении на определенные углы, например, квадрат при повороте на 90°, однако полностью ротационно симметричными при любом угле являются только сферы, круги и другие сфероиды.
Rotational symmetry, also known as radial symmetry in geometry, is the property a shape has when it looks the same after some rotation by a partial turn. An object's degree of rotational symmetry is the number of distinct orientations in which it looks exactly the same for each rotation. Certain geometric objects are partially symmetrical when rotated at certain angles such as squares rotated 90°, however the only geometric objects that are fully rotationally symmetric at any angle are spheres, circles and other spheroids.
Формальное обращение
Формально, вращательная симметрия — это симметрия относительно некоторых или всех вращений в m-мерном евклидовом пространстве. Вращения являются прямыми изометриями, то есть изометриями, сохраняющими ориентацию. Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой E⁺(m) (см. Евклидова группа). Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех сдвигов, поэтому пространство однородно, а группа симметрии — это целое E(m). При модифицированном понятии симметрии для векторных полей группа симметрии также может быть E⁺(m). Для симметрии относительно вращений вокруг точки можно принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу SO(m) — группу ортогональных матриц m × m с детерминантом 1. Для m = 3 это группа вращений SO(3). В другом определении группа вращения объекта — это группа симметрии внутри E⁺(n), группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов она совпадает с полной группой симметрии. Законы физики являются SO(3)-инвариантными, если они не различают различные направления в пространстве. В силу теоремы Нётер, вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения углового момента.
Formally the rotational symmetry is symmetry with respect to some or all rotations in m dimensional Euclidean space. Rotations are direct isometries, i. e., isometries preserving orientation. Therefore, a symmetry group of rotational symmetry is a subgroup of E^( +)(m) (see Euclidean group). Symmetry with respect to all rotations about all points implies translational symmetry with respect to all translations, so space is homogeneous, and the symmetry group is the whole E(m). With the modified notion of symmetry for vector fields the symmetry group can also be E^( +)(m). For symmetry with respect to rotations about a point we can take that point as origin. These rotations form the special orthogonal group SO(m), the group of m × m orthogonal matrices with determinant 1. For 1=m = 3 this is the rotation group SO(3). In another definition of the word, the rotation group of an object is the symmetry group within E^( +)(n), the group of direct isometries; in other words, the intersection of the full symmetry group and the group of direct isometries. For chiral objects it is the same as the full symmetry group. Laws of physics are SO(3) invariant if they do not distinguish different directions in space. Because of Noether's theorem, the rotational symmetry of a physical system is equivalent to the angular momentum conservation law.
Ротационная симметрия по отношению к любому углу
Ротационная симметрия относительно любого угла в двух измерениях является круговой симметрией. Фундаментальная область – полупрямая. В трех измерениях можно выделить цилиндрическую и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть, отсутствие зависимости от угла при использовании цилиндрических координат и отсутствие зависимости от обоих углов при использовании сферических координат. Фундаментальная область – полуплоскость, проходящая через ось, и радиальная полупрямая, соответственно. Осесимметричный и осесимметричная – это прилагательные, относящиеся к объекту, обладающему цилиндрической симметрией, или осесимметрией (то есть вращательной симметрией относительно центральной оси), как, например, тор (бублик). Примером приближенной сферической симметрии является Земля (в отношении плотности и других физических и химических свойств). В 4D непрерывная или дискретная ротационная симметрия относительно плоскости соответствует соответствующей 2D ротационной симметрии в каждой перпендикулярной плоскости вокруг точки их пересечения. Объект также может обладать ротационной симметрией относительно двух перпендикулярных плоскостей, например, если он является декартовым произведением двух ротационно симметричных 2D фигур, как в случае, например, дуоцилиндра и различных правильных дуопризм.
Rotational symmetry with respect to any angle is, in two dimensions, circular symmetry. The fundamental domain is a half line. In three dimensions we can distinguish cylindrical symmetry and spherical symmetry (no change when rotating about one axis, or for any rotation). That is, no dependence on the angle using cylindrical coordinates and no dependence on either angle using spherical coordinates. The fundamental domain is a half plane through the axis, and a radial half line, respectively. Axisymmetric and axisymmetrical are adjectives which refer to an object having cylindrical symmetry, or axisymmetry (i. e. rotational symmetry with respect to a central axis) like a doughnut (torus). An example of approximate spherical symmetry is the Earth (with respect to density and other physical and chemical properties). In 4D, continuous or discrete rotational symmetry about a plane corresponds to corresponding 2D rotational symmetry in every perpendicular plane, about the point of intersection. An object can also have rotational symmetry about two perpendicular planes, e. g. if it is the Cartesian product of two rotationally symmetry 2D figures, as in the case of e. g. the duocylinder and various regular duoprisms.