Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике преобразования Бэклунда (названные в честь шведского математика Альберта Виктора Бэклунда) устанавливают связь между уравнениями в частных производных и их решениями. Они являются важным инструментом в теории солитонов и интегрируемых систем. Преобразование Бэклунда обычно представляет собой систему уравнений в частных производных первого порядка, связывающую две функции и часто зависящую от дополнительного параметра. Это означает, что каждая из двух функций по отдельности удовлетворяет уравнению в частных производных, и тогда говорят, что каждая из этих функций является преобразованием Бэклунда для другой. Преобразование Бэклунда, связывающее решения одного и того же уравнения, называется инвариантным преобразованием Бэклунда или автопреобразованием Бэклунда. Если такое преобразование удается найти, можно сделать множество выводов о решениях уравнения, особенно если преобразование Бэклунда содержит параметр. Однако не существует известного систематического способа поиска преобразований Бэклунда.
In mathematics, Bäcklund transforms or Bäcklund transformations (named after the Swedish mathematician Albert Victor Bäcklund) relate partial differential equations and their solutions. They are an important tool in soliton theory and integrable systems. A Bäcklund transform is typically a system of first order partial differential equations relating two functions, and often depending on an additional parameter. It implies that the two functions separately satisfy partial differential equations, and each of the two functions is then said to be a Bäcklund transformation of the other. A Bäcklund transform which relates solutions of the same equation is called an invariant Bäcklund transform or auto Bäcklund transform. If such a transform can be found, much can be deduced about the solutions of the equation especially if the Bäcklund transform contains a parameter. However, no systematic way of finding Bäcklund transforms is known.
История
Трансформации Баклунда берут свое начало в дифференциальной геометрии: первым нетривиальным примером является преобразование псевдосферных поверхностей, введенное Л. Бьянки и А. В. Баклундом в 1880-х годах. Это геометрическое построение новой псевдосферной поверхности из исходной псевдосферной поверхности с использованием решения линейного дифференциального уравнения. Поскольку псевдосферные поверхности можно описать как решения уравнения синус-Гордона, преобразование Баклунда поверхностей можно рассматривать как преобразование решений уравнения синус-Гордона.
Bäcklund transforms have their origins in differential geometry: the first nontrivial example is the transformation of pseudospherical surfaces introduced by L. Bianchi and A. V. Bäcklund in the 1880s. This is a geometrical construction of a new pseudospherical surface from an initial such surface using a solution of a linear differential equation. Pseudospherical surfaces can be described as solutions of the sine Gordon equation, and hence the Bäcklund transformation of surfaces can be viewed as a transformation of solutions of the sine Gordon equation.