Введение

Обобщение алгебраических пространств или схем. В математике алгебраический стек — это широкое обобщение алгебраических пространств или схем, которые являются основополагающими для изучения теории модулей. Многие модульные пространства строятся с использованием техник, специфичных для алгебраических стеков, таких как теорема об отображаемости Артина, которая используется для построения модульного пространства отмеченных алгебраических кривых и модульного стека эллиптических кривых. Изначально они были введены Александром Гротендиком для учёта автоморфизмов на модульных пространствах, что позволяет рассматривать эти пространства так, как если бы лежащие в их основе схемы или алгебраические пространства были гладкими. После разработки Гротендиком общей теории спуска и Жиро — общей теории стеков, понятие алгебраического стека было определено Майклом Артином.

Мотивация

Одним из мотивирующих примеров алгебраического стека является рассмотрение группоидной схемы над фиксированной схемой. Например, если (где – групповая схема корней из единицы), – проекция, – групповое действие, а – операция умножения на . Тогда, для данной схемы , группоидная схема формирует группоид (где – соответствующие функторы). Более того, эта конструкция является функториальной, образуя контравариантный 2-функтор, где – 2-категория малых категорий. Другой способ взглянуть на это – как на расслоенную категорию, полученную посредством конструкции Гротендика. Установление корректных технических условий, таких как топология Гротендика на , дает определение алгебраического стека. Например, в ассоциированном группоиде точек для поля , над начальным объектом находится группоид автоморфизмов. Однако, чтобы получить алгебраический стек из , а не просто стек, требуются дополнительные технические гипотезы для .

Использование топологии fppf

Прежде всего, топология fppf используется, поскольку она хорошо согласуется с понятием спуска. Например, если существуют схемы и их можно уточнить до fppf-обложки , и если является плоским, локально конечного типа или локально конечно представленным, то обладает этим свойством. Эту идею можно расширить, рассматривая свойства, локальные либо на целевом, либо на исходном объекте морфизма. Для обложки мы говорим, что свойство локально на исходном объекте, если обладает свойством , если и только если каждый обладает им. Существует аналогичное понятие на целевом объекте, называемое локальным на цели. Это означает, что для обложки обладает свойством , если и только если каждый обладает им. Для топологии fppf наличие погружения локально на цели. В дополнение к предыдущим свойствам, локальным на исходном объекте для топологии fppf, универсальная открытость также локальна на исходном объекте. Кроме того, локальная ноэтерианность и якобсоновность локальны как на исходном, так и на целевом объектах для топологии fppf. Это не выполняется для fpqc-топологии, что делает её менее "удобной" с точки зрения технических свойств. Несмотря на это, использование алгебраических стеков над fpqc-топологией всё ещё имеет применение, например, в хроматической теории гомотопий. Это связано с тем, что стек Moduli формальных групповых законов является fpqc-алгебраическим стеком, стр. 40.

Диагональ, представляемая

По определению, 1-морфизм категорий, расслоенных над группоидами, представим алгебраическими пространствами, если для любого fppf-морфизма схем и любого 1-морфизма , ассоциированная категория, расслоенная над группоидами, представима как алгебраическое пространство, то есть существует алгебраическое пространство, такое что ассоциированная расслоенная категория эквивалентна . Существует ряд эквивалентных условий для представимости диагонали, которые помогают понять это техническое условие, но одна из основных мотиваций следующая: для схемы и объектов пучок представляется как алгебраическое пространство. В частности, группа стабилизатора для любой точки на стеке представима как алгебраическое пространство. Другим важным эквивалентом наличия представимой диагонали является техническое условие, что пересечение любых двух алгебраических пространств в алгебраическом стеке является алгебраическим пространством. Переформулированная с использованием произведений по волокнам, представимость диагонали эквивалентна представимости для алгебраического пространства. Это связано с тем, что, учитывая морфизмы из алгебраических пространств, они продолжаются до отображений с диагонального отображения. Существует аналогичное утверждение для алгебраических пространств, которое дает представимость пучка как алгебраического пространства. Следует отметить, что аналогичное условие представимости диагонали выполняется для некоторых формулировок высших стеков, где произведение по волокнам является -стеком для -стека.

Лемма 2-Йонеды

Существование схемы и 1-морфизма волоконных категорий, который является сюръективным и гладким, зависит от определения гладких и сюръективных морфизмов волоконных категорий. Здесь – алгебраический стек, полученный из представимого функтора на , расширенного до категории, расслоенной над группоидами, где категории содержат только тривиальные морфизмы. Это означает, что множество рассматривается как категория, обозначаемая , с объектами в качестве морфизмов, а морфизмами являются тождественные морфизмы. Следовательно, – это 2-функтор группоидов. Доказательство того, что этот 2-функтор является пучком, является содержанием 2-леммы Йонеды. Используя построение Гротендика, существует ассоциированная категория, расслоенная над группоидами, обозначаемая .

Представляемые морфизмы категорий, волокнистых в группоидах

Чтобы сказать, что этот морфизм гладкий или сюръективен, необходимо ввести понятие представимых морфизмов. Морфизм категорий, расслоенных над группоидами, называется представимым, если для любого объекта в и любого объекта 2-волокнистое произведение представляется схемой. Тогда морфизм категорий, расслоенных над группоидами, можно назвать гладким и сюръективным, если соответствующий морфизм схем является гладким и сюръективным.

Делинь-Мамфорд

Алгебраические стеки, также известные как стеки Артина, по определению снабжены гладким сюръективным атласом, где – стек, ассоциированный с некоторой схемой. Если атлас, кроме того, этальный, то такой стек называется стеком Делиня — Мамфорда. Подкласс стеков Делиня — Мамфорда полезен, поскольку он предоставляет подходящую основу для многих естественных стеков, таких как модульный стек алгебраических кривых. Кроме того, они достаточно строги, чтобы объекты, представленные точками в стеках Делиня — Мамфорда, не имели бесконечно малых автоморфизмов. Это очень важно, поскольку бесконечно малые автоморфизмы значительно затрудняют изучение теории деформаций стеков Артина. Например, теория деформаций стека Артина, модульного стека векторных расслоений ранга , имеет бесконечно малые автоморфизмы, частично контролируемые алгеброй Ли. Это приводит к бесконечной последовательности деформаций и обструкций в общем случае, что является одной из мотиваций для изучения модулей стабильных расслоений. Только в особом случае теории деформаций линейных расслоений теория деформаций становится разрешимой, поскольку соответствующая алгебра Ли абелева. Следует отметить, что многие стеки нельзя естественным образом представить как стеки Делиня — Мамфорда, поскольку это допускает только конечные накрытия, или алгебраические стеки с конечными накрытиями. Важно отметить, что поскольку каждое этальное накрытие плоское и локально конечно представимо, алгебраические стеки, определенные с помощью fppf-топологии, включают в себя эту теорию; однако она все еще полезна, поскольку многие стеки, встречающиеся в природе, имеют такую форму, например, модули кривых. Кроме того, дифференциально-геометрический аналог таких стеков называется орбифолдами. Этальное условие подразумевает, что два функтора, отображающие схему в ее группоид торсоров, представимы как стек относительно этальной топологии, но стек Пикара торсоров (эквивалентно, категория линейных расслоений) не представим. Стойки такой формы представимы как стеки относительно fppf-топологии. Еще одна причина рассмотреть fppf-топологию вместо этальной топологии заключается в том, что в характеристике последовательность Куммера точна только как последовательность fppf-пучков, но не как последовательность этальных пучков.

Определение алгебраических стеков по сравнению с другими топологиями

Использование других топологий Гротендика на даёт альтернативные теории алгебраических стеков, которые либо недостаточно общие, либо плохо работают при переносе свойств с основания покрытия на общее пространство покрытия. Стоит напомнить, что существует следующая иерархия обобщений больших топологий на .

Структурный сгусток

Структурный пучок алгебраического стека — это объект, отобранный с помощью универсального структурного пучка на сайте. Этот универсальный структурный пучок определяется как, а связанный с ним структурный пучок на категории, расслоенных в группоиды, определяется как, где происходит из отображения топологий Гротендика. В частности, это означает, что лежит над , так что, если , то. В качестве проверки разумности стоит сравнить это с категорией, расслоенной в группоиды, происходящей из схемы для различных топологий. Например, если — категория, расслоенная в группоиды над , то структурный пучок для открытой подсхемы дает, таким образом, это определение восстанавливает классический структурный пучок на схеме. Более того, для факторстека , структурный пучок дает просто инвариантные сечения для в .

Классификационные стеки

Многие классифицирующие стеки для алгебраических групп являются алгебраическими стеками. Действительно, для алгебраического группового пространства над схемой, которая плоская и конечно представима, стек алгебраичен (теорема 6.1).