Введение

Любая коллекция множеств или подмножеств множества.

В теории множеств и смежных областях математики семейство (или коллекция) может означать, в зависимости от контекста, любое из следующего: множество, индексированное множество, мультимножество или класс. Коллекция подмножеств заданного множества называется семейством подмножеств или семейством множеств над . В более общем смысле, коллекция любых множеств называется семейством множеств, семейством множеств или системой множеств. Кроме того, семейство множеств может быть определено как функция из множества , известного как индексное множество, в , в этом случае множества семейства индексируются элементами . В некоторых контекстах семейство множеств может содержать повторяющиеся копии любого данного элемента, а в других контекстах оно может образовывать собственный класс. Конечное семейство подмножеств конечного множества также называется гиперграфом. Предмет экстремальной теории множеств касается наибольших и наименьших примеров семейств множеств, удовлетворяющих определенным ограничениям.

Покрытия и топологии

Семья множеств называется покрытием множества, если каждая точка этого множества принадлежит хотя бы одному множеству из этой семьи. Подсемейство покрытия, которое также является покрытием, называется подобкрытием. Семья называется конечноточной, если каждая точка множества принадлежит лишь конечному числу множеств из этой семьи. Если каждая точка покрытия принадлежит ровно одному множеству, то покрытие является разбиением. Когда является топологическим пространством, покрытие, все множества которого открыты, называется открытым покрытием. Семья называется локально конечной, если для каждой точки пространства существует окрестность, пересекающая лишь конечное число множеств из этой семьи. Σ-локально конечная или счетно локально конечная коллекция – это семейство, являющееся объединением счетного числа локально конечных семейств. Говорят, что покрытие уточняет другое (более грубое) покрытие, если каждое множество первого покрытия содержится в некотором множестве второго покрытия. Звёздное уточнение – это особый вид уточнения.