Введение

Каталонское тело с 120 гранями. Дисдиякис триаконтаэдр (вращающаяся и 3D-модель). Тип: Каталонский. Обозначение Конвея: mD или dbD. Диаграмма Коксетера. Многоугольник грани: равносторонний треугольник. Граней: 120. Рёбер: 180. Вершин: 62 = 12 + 20 + 30. Конфигурация грани: V4.6.10. Группа симметрии: Ih, H3, [5,3], (*532). Группа вращения: I, [5,3]+, (532). Двугранный угол. Двойственный многогранник: усечённый икосидодекаэдр. Свойства: выпуклый, транзитивно по граням, развёртка.

В геометрии дисдиякис триаконтаэдр, гексакис икосаэдр, декакис додекаэдр или кисромбический триаконтаэдр — это каталонское тело с 120 гранями и двойственное к архимедову усечённому икосидодекаэдру. Таким образом, он имеет однородный вид, но с неправильными многоугольниками граней. Он слегка напоминает надутый ромбический триаконтаэдр: если заменить каждую грань ромбического триаконтаэдра одной вершиной и четырьмя треугольниками в регулярном порядке, получится дисдиякис триаконтаэдр. То есть, дисдиякис триаконтаэдр является клетопой ромбического триаконтаэдра. Он также является барицентрическим подразделением правильного додекаэдра и икосаэдра. Он имеет наибольшее количество граней среди архимедовых и каталонских тел, а на втором месте находится снуб-додекаэдр с 92 гранями. Если исключить бипирамиды, гироудлинённые бипирамиды и трапезоэдры, дисдиякис триаконтаэдр имеет наибольшее количество граней любого другого строго выпуклого многогранника, у которого каждая грань многогранника имеет одинаковую форму. При проектировании на сферу рёбра дисдиякис триаконтаэдра определяют 15 больших кругов. Бакминстер Фуллер использовал эти 15 больших кругов, наряду с 10 и 6 другими в двух других многогранниках, чтобы определить свои 31 больших круга сферического икосаэдра.

Применение

Дисдиякисский триаконтаэдр, представляющий собой правильный додекаэдр, у которого каждый пятиугольник разделен на 10 треугольников, считается "святым Граалем" для комбинаторных головоломок, таких как кубик Рубика. Эта нерешенная проблема, часто называемая проблемой "большого разреза", в настоящее время не имеет удовлетворительного решения. Это наиболее значимая нерешенная задача в области механических головоломок. Эта форма использовалась для создания 120-гранных костей с помощью 3D-печати. С 2016 года Dice Lab использует дисдиякисский триаконтаэдр для массового производства 120-гранных костей методом литья под давлением. Утверждается, что d120 имеет наибольшее возможное количество граней среди честных костей, за исключением бесконечных семейств (таких как правильные призмы, бипирамиды и трапецоэдры), которые были бы непрактичны в реальном использовании из-за их склонности долго вращаться. Дисдиякисский триаконтаэдр, спроецированный на сферу, используется в качестве логотипа Brilliant – веб-сайта, содержащего серию уроков по естественнонаучным, технологическим, инженерным и математическим дисциплинам (STEM).

Связанные полиэдра и плитки

Полиэдры, подобные дискиакис триаконтаэдру, являются дуальными к икосаэдру Боути и додекаэдру, содержащие дополнительные пары треугольных граней. Они топологически связаны с последовательностью многогранников, определяемой конфигурацией граней V4.6.2n. Эта группа особенна тем, что имеет четное число ребер, сходящихся в каждой вершине, и формирует биссектрирующие плоскости, проходящие через многогранники, а также бесконечные прямые на плоскости, продолжаясь в гиперболическую плоскость при любом n ≥ 7. Благодаря четному числу граней, сходящихся в каждой вершине, эти многогранники и мощения можно представить, чередуя два цвета так, чтобы все смежные грани имели разные цвета. Каждая грань в этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольника. Это *n32 в орбифолдной нотации и [n,3] в нотации Коксетера.